Skriptum zur Vorlesung

Beweis: Sei m eine Maschinenzahl in normalisierter Darstellung, m ≠ 0. Wenn x ∈R zu m gerundet wird, darf sich x in der b–adischen Darstellung maximal um b/2 ander p + 1. Stelle hinter dem Komma von m unterscheiden,alsoDa m 1 ≠ 0 (m ist normalisiert), giltund damit|x − m| ≤ b e b −p−1 b/2.|m| ≥ b −1 b e∣ ∣∣∣ m − xm ∣ ≤ be b −p−1 b/2= eps .b −1 b eDer zweite Teil folgt genauso, mit einer Fallunterscheidung für m = 0.1b e (Übungen).□M ist nicht abgeschlossen bezüglich der arithmetischen Operationen. Im humanformat etwa gilt:0.1 ∈ M, 0.1 10 −4 ∈ M, 0.1 + 0.1 10 −4 = 0.1001 ∉ M.Wir müssen also nach jeder Operation runden.Definition 2.38 ( Maschinenoperationen)Auf M × M sind die Abbildungen ⊕, ⊖, ⊙ und ⊘ nach M definiert durchm 1 ⊕ m 2 = rd(m 1 + m 2 )usw. Offensichtlich gilt∣ (m 1 ⊕ m 2 ) − (m 1 + m 2 ) ∣∣∣∣≤ epsm 1 + m 2für m 1 + m 2 ≠ 0 usw.Bemerkung: M ist nicht assoziativ bezüglich der Maschinenoperationen. Im humanformat gilt:(10 −30 ⊕ 1) ⊖ 1 = 0aber10 −30 ⊕ (1 ⊖ 1) = 10 −3030