Skriptum zur Vorlesung

Die Menge aller linearen Operatoren L(U, V ) bildet auf natürliche Weise selbst wiedereinen Vektorraum.Satz 2.12 (Stetigkeit beschränkter linearer Operatoren) Seien (U, || · || U ) und (V, || ·|| V ) normierte Vektorräume. Sei T ∈ L(U, V ). T ist stetig genau dann, wenn||T || :=beschränkt ist. Es giltundBeweis:||T 1 T 2 || =||T u|| Vsup = sup ||Tu∈U,u≠0 ||u|| U u∈U,u≠0u||u|| U|| V =||T u|| V ≤ ||T || ||u|| U ∀u ∈ Usup ||T u|| Vu∈U,||u|| U =1||T 1 T 2 || ≤ ||T 1 || ||T 2 || ∀T 2 ∈ L(U, V ), T 1 ∈ L(V, W ).||T u|| V = ||Tu||u|| U|| V ||u|| U ≤ ||T || ||u|| U (u ≠ 0).sup ||T 1 T 2 u|| ≤ sup ||T 1 || ||T 2 u|| V = ||T 1 || ||T 2 ||.||u|| U =1||u|| U =1Wegen der Linearität reicht es, die Stetigkeit in 0 nachzuweisen. Sei u k eine Nullfolgeund ||T || beschränkt. Dann ist||T u k || ≤ ||T || ||u k ||und damit ebenfalls Nullfolge. Sei nun ||T || unbeschränkt. Dann gibt es eine Folgeu k von Vektoren mit Norm 1 in U, so dass ||T u k || V ≥ k. Dann ist w k = u k /||T u k || Veine Nullfolge, aber ||T w k || V = 1, also ist T w k keine Nullfolge und T nicht stetig. □Satz 2.13 (Norm von Operatoren) Seien (U, || · || U ) und (V, || · || V ) normierte Vektorräume,B(U, V ) der Vektorraum der stetigen linearen Operatoren von U nach V ,alsoB(U, V ) = {T ∈ L(U, V ) : ||T || < ∞}.Dann ist ||T || Norm auf B(U, V ).|| · || heißt Operatornorm und ist die Standardnorm auf B(U, V ).Korollar 2.14 Sei A k eine Folge von Matrizen. A k konvergiert gegen A in einer Norm|| · || genau dann, wenn alle Matrixelemente gegeneinander konvergieren.Beweis: Äquivalenz zur Unendlichnorm der Koeffizienten.□22