Skriptum zur Vorlesung

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 86 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 = 12 ≡ A (1) x = b (1)−3 x 1 + x 2 − 2 x 3 = −33 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 8x 2 − 6 x 3 = −4 ≡ A (2) x = b (2)3 x 2 − x 3 = 53 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 8x 2 − 6 x 3 = −4 ≡ A (3) x = b (3)17 x 3 = 17Durch Rückwärtseinsetzen ergibt sich damitx 3 = 17/17 = 1, x 2 = (−4 + 6)/1 = 2, x 3 = (8 − 1 − 2 · 2)/3 = 1.Wir werden Algorithmen immer in einem Pseudocode formulieren.Zu lösen sei Ax = b, A ∈ R n×n , b ∈ R n . Setze A (1) = A und b (1) = b. Es seiA (k) = (a (k)jl) usw.Für i = 1 . . . n − 1Zur Konstruktion des Gleichungssystems A (i+1) x = b (i+1)Übernehme die ersten i Gleichungen, d.h. die ersten i Zeilen.Für j = i + 1 . . . nFür i = n . . . 1l ji = a(i) jifalls a (i)a (i) ii ≠ 0.iiFür k = i + 1 . . . na (i+1)jk= a (i)jk − l ji · a (i)ikb (i+1)j = b (i)j − l ji b (i)iSetze die restlichen Einträge auf 0.x i =(b (n)i − ∑ )nj=i+1 a(n) ij x j /a (i)ii .Hierbei benötigen wir die Matrizen A (k) zur Berechnung der Lösung nicht, es liegtalso nahe, jeweils A (k) mit A (k+1) zu überschreiben. Es wird also im Laufe des Algorithmuskein zusätzlicher Speicherplatz benötigt.Wir bestimmen den Aufwand zur Lösung des Systems. Wir vereinbaren zunächst:Da Addition und Multiplikation fast immer zusammen auftreten, zählen wir sie alseine Rechenoperation. Tatsächlich sind moderne Rechnerarchitekturen in der Lage,diese beiden Operationen gleichzeitig durchzuführen (fused multiply add), was, wieman sich schnell überlegt, den IEEE–Standard verletzt.38