Skriptum zur Vorlesung

Mit dieser Konvention giltSatz 3.3 Die Auflösung einer Gleichung mit n Unbekannten mit dem Gauß–Algorithmus benötigt n 3 /3 + O(n 2 ) Rechenoperationen und n Divisionen.Bemerkung:1. Die Cramersche Regel rechnet die Determinanten der Matrix aus, was bei direkterBerechnung die Komplexität O(n!) hat (und damit völlig unbrauchbarist).2. Die Gauss–Elimination ist durchführbar genau dann, wenn alle a (i)ii ≠ 0.3. Falls a (i)ii = 0, aber a (i)ki≠ 0 für ein k > i, so vertausche die k. und die i. Zeiledes Gleichungssystems (was die Lösung natürlich nicht ändert).4. Falls a (i)ki= 0 für alle k ≥ i, so ist x i aus den Gleichungen i bis n bereitseliminiert. In diesem Fall hat A (i) die Form⎛⎞∗0 ∗. . .. . ..0 · · · 0 ∗0 · · · 0 0 0 ∗⎜⎟⎝ .. ∗ ⎠0 · · · 0 0 0 ∗Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte zeigt sofort: Dann istA (i) singulär, und damit auch A. Falls A invertierbar ist, kann dieser Fall alsonicht auftreten.Die Elimination ist auf einer Permutation des Systems aber immer ausführbar.5. Setze R := A (n) . Dann giltR ik = 0 für i > k.R mit dieser Eigenschaft (alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden)heißt rechte obere Dreiecksmatrix. Entsprechend heißt eine MatrixL linke untere Dreiecksmatrix, falls alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalenverschwinden, d.h.L ik = 0 für i < k.40