Skriptum zur Vorlesung

wobei L ′−1i aus L i durch Permutieren und Multiplizieren der Elemente unterhalb derHauptdiagonalen mit −1 entsteht. L ist eine unitäre linke untere Dreiecksmatrix, ihreEinträge unterhalb der Hauptdiagonalen ist die Überlagerung der Elementarmatrizen,und das sind gerade die Einträge l σj ,k mit der Permutation σ zu P . □Bemerkung:1. Sei P A = LR. Dann kann Ax = b gelöst werden mittelsAx = b ⇐⇒ P Ax = P b⇐⇒⇐⇒LRx = P bLy = P b, Rx = yDabei wird y bestimmt durch Vorwärtseinsetzen (Auflösung der Gleichungenvon vorn nach hinten) in Ly = P b und x durch Rückwärtseinsetzen(Auflösung der Gleichungen von hinten nach vorn) in Rx = y.2. Nicht jede invertierbare Matrix besitzt eine LR–Zerlegung. Sei etwa( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 b c b c= · =.1 0 a 1 0 d ab ac + dDann gilt offensichtlich b = 0, also ab = 0 .3. Es gibt singuläre Matrizen, die eine LR–Zerlegung besitzen.( ) ( ) ( )0 0 1 0 0 0= ·0 0 0 1 0 04. Die LR–Zerlegung mit Spaltenpivotsuche und Vorwärts–Rückwärtseinsetzenist für praktische Zwecke ein gutartiger Algorithmus zur Bestimmung derLösung eines linearen Gleichungssystems.5. Der Aufwand zur Berechnung der LR–Zerlegung beträgt n 3 /3 + O(n 2 ) Rechenoperationen(+n Divisionen). Der Aufwand für das Einsetzen beträgtn 2 + O(n).Satz 3.7 ( Eindeutigkeit der LR–Zerlegung) Sei A eine invertierbare n × n–Matrix.Falls A eine LR–Zerlegung besitzt, so ist diese Zerlegung eindeutig.Beweis: A besitze die LR–Zerlegungen (L, R) und (L ′ , R ′ ). Da A invertierbar ist,sind auch die Dreiecksmatrizen invertierbar. Es giltA = LR = L ′ R ′ =⇒ (L ′ ) −1 L = R ′ R −1 =: Z.46