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✞f u n c t i o n B = LRSolve ( A , B , P ,Q )%LRSOLVE Solve AX=B . A , P ,Q are from LR .%B can be a m a t r i x o f v e c t o r s .%Permute r i g h t hand side v e c t o r s .[ n m]= s i z e ( A ) ;i f ( s i z e ( B , 1 ) ˜ =m)✡✝Listing 3.3: Lösung eines LGS mit der LR–Zerlegung (LR-Zerlegung/LRSolve.m)☎✆✞f u n c t i o n [ o u t p u t a r g s ] = d o i t ( N , p i v o t )%DOIT Solve random l i n e a r equation o f s i z e N%Remember : P i v o t i n g e f f e c t does not show with random m a t r i c e s .☎i f✡✝( nargin
eine LR–Zerlegung. Wegen der Eindeutigkeit gilt also L = (D −1 R) t , und insbesondere0 < (Ax, x) = (LRx, x) = (Rx, L t x) = (Rx, D −1 Rx).Einsetzen von R −1 e k liefert D kk > 0, wir können also die Wurzel aus den Diagonalelementenziehen. Sei D ′ die Diagonalmatrix mit D ′ ii = 1/ √ R ii . Dann giltA = LR = (D −1 R) t R = R t D −1 R = R t D ′ D ′ R = (D ′ R) t (D ′ R),A lässt sich also tatsächlich als Produkt von zueinander transponierten Dreiecksmatrizenschreiben. Wir halten dieses Ergebnis fest inSatz 3.9 ( Cholesky–Zerlegung)Sei A eine symmetrisch positiv definite (n×n)–Matrix. Dann gibt es eine linke untere(nicht notwendig normierte) (n × n)–Dreiecksmatrix L, so dassA = LL t .Bei der Berechnung der Cholesky–Zerlegung kann also die ganz normale LR–Zerlegungberechnet werden. Die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen müssen aberwegen der Symmetrie nicht mitgezogen werden, es ergibt sich insgesamt also derhalbe Aufwand. Da Zeilenvertauschungen die Symmetrie zerstören würden, mussdabei ohne Pivotsuche gearbeitet werden, sie ist aber bei s.p.d.–Matrizen tatsächlichauch nicht notwendig.Der Algorithmus lässt sich leicht angeben. Seien a k die Spalten der zu zerlegendenMatrix A und l k die Spalten von L. L ist linke untere Dreiecksmatrix, d.h. (l k ) j = 0für j > k. Wegen(a1 a 2 . . . a n)= A = LLt⎛= ( )l 1 l 2 · · · l n ⎜⎝l t 1l t 2.⎞⎟⎠=⎛⎜⎝. .... ..· · ·⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝. ..l t n⎞. .. · · ·. .. .⎟⎠. ..gilt in der ersten Spalteund damita 1 = (l 1 ) 1 l 1(l 1 ) 1 = √ (a 1 ) 149
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Seite 35 und 36: die Kondition von A und es gelteq =
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Seite 47: Z ist Produkt linker unterer normie
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Seite 53 und 54: 1. Seien q k die Spalten von Q. Dan
Seite 55 und 56: 3. Falls m < n, so gibt es eine uni
Seite 57 und 58: Seien a 1 , . . . , a n die Spalten
Seite 59 und 60: is m von R leer. In diesem Fall kö
Seite 61 und 62: i f ( nargin 0 und R ′ ii > 0,i
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Seite 67 und 68: Abbildung 4.2: Beispiel: Polynomial
Seite 69 und 70: 2. Sei A t Ax = 0, dann gilt0 = (A
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Seite 73 und 74: 1. A t Ax + = A t b.2. x + ∈ Bild
Seite 75 und 76: 1. Falls n = m und A invertierbar,
Seite 77 und 78: A hat maximalen Rang, also auch R,
Seite 79 und 80: alsoSeiλ 1 , . . . , λ r > 0, λ
Seite 81 und 82: Dieser Satz liefert also eine einfa
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Seite 93 und 94: 3. Sei ɛ (k) eine positive Nullfol
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Seite 97 und 98: das logistische Modell für Bevölk
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Bemerkung:1. Der Aufwand zur Berech
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✞f u n c t i o n d o i t ( N )%DO
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||x|| ∞ = 1. Es gibt also ein m m
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dass 5.19 nur mit ≤ statt < erfü
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Definition 5.24 ( Relaxierte Verfah
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✞f u n c t i o n x = sor ( A , b
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des Landweber-Verfahrens haben wir
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5.3 Iterative Lösung nichtlinearer
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Damit sind alle Voraussetzungen aus
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(dies ist natürlich insbesondere d
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Bemerkung:1. Natürlich invertiert
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4. Durch Berücksichtigung von weit
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p l o t ( x , f ( x , p ) , x , f0
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wohldefiniert. Wir haben bereits in
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Abbildung 6.1: Surface Plot von f i
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Seien λ 1 , λ n der größte bzw.
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Wählt man die Suchrichtungen also
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Es stellt sich also die Frage: Kön
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Tatsächlich kann man diese Definit
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undn∑||x − y|| 2 A = || α i p(
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Damit gilt|p(λ j )| ≤ 1 (√ ) k
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✞f u n c t i o n cgdemo%CGDEMOf o
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und nutzt zur Definition des Augmen
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Aus diesem Grund sind Eigenwertanal
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7.1 Kondition des Eigenwertproblems
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schlechte Abschätzungen, wenn man
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sonst gilt nur|a (j) − λ 1 | ≤
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Abbildung 7.2: Langsame Konvergenz
Seite 157 und 158:
Seien v k die Spalten von X. Wegen
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Abbildung 7.4: Konvergenz bei ungü
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Wir definieren das QR-Verfahren als
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4. (RDR−1 ) k,k = D k,k.5.und dam
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2. Falls betragsgleiche, unterschie
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Also: Wir führen n Potenzmethoden
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Kapitel 8Numerische Approximation i
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✞f u n c t i o n [ o u t p u t a
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Beispiel 8.21. Sei X = (R 2 , || ·
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2. || · || heißt strikt, falls di
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Bei der Anwendung von Cauchy-Schwar
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Dann hat q(x)p n (x) konstantes Vor
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Abbildung 8.5: Gauss-Approximation.
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Gauss-Approximation lässt sich auf
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y=double ( h e a v i s i d e (0.1
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Korollar 8.13 ( Alternantensatz)Sei
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Abbildung 8.10: Tschebyscheff-Appro
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Lemma 8.17Sei x 0 < . . . < x n+1 .
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Abbildung 8.12: Zweite Iteration de
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||f − p ∗ n|| ∞ ↦→ 0, n
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Die Voraussetzungen dieses Lemmas s
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Kapitel 9Grundzüge der linearen un
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und offensichtlicher Definition fü
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Dies motiviert sofort einen Algorit
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Dadurch steht im Vektor die Nichtba
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Kapitel 10AusblickÜbersicht über
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M. Hanke-Bourgeois. Grundlagen der
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Abbildungsverzeichnis1.1 Röntgenbi
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Listings1.1 Analytische Lösung der
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6.4 Treiber zu cg (Krylov/cgdemo.m)
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