Skriptum zur Vorlesung

Inhaltsverzeichnis0 Einleitung 41 Angewandte Mathematik 62 Grundlagen der LA und der Fehlerrechnung 182.1 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.1 Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Fehler beim numerischen Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Fehlerverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 373.1 Gauß–Elimination und LR–Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Cholesky–Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 QR–Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Übersicht: Direkte Lösung von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme 644.1 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Die Minimum Norm–Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Die Pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 Iterative Lösung von Gleichungssystemen mit Fixpunktiterationen 835.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Fixpunktverfahren zur Lösung linearer Gleichungen . . . . . . . . . . 985.3 Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . 1136 Krylovraumverfahrren zur Lösung linearer Gleichungen 1266.1 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Konjugierte Richtungen und das CG–Verfahren . . . . . . . . . . . . . 1326.3 Der Uzawa–Algorithmus: Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . 1432