Skriptum zur Vorlesung

Wir werden beide stillschweigend als Standard–Skalarprodukte auf den jeweiligenRäumen verwenden. Die induzierte Norm ist jeweils || · || 2 .Satz 2.8 (Cauchy–Schwarz)Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gilt|(u, v)| 2 ≤ ||u|| 2 ||v|| 2 ∀u, v ∈ Vund Gleichheit genau dann, wenn u und v linear abhängig sind.Beweis: Falls v = 0, so ist der Satz richtig. Sei also v ≠ 0. Es gilt0 ≤ || ||v|| 2 u − (u, v)v|| 2 = ||v|| 4 (u, u) − 2|(u, v)| 2 ||v|| 2 + |(u, v)| 2 (v, v)und damit|(u, v)| 2 ≤ ||u|| 2 ||v|| 2und Gleichheit genau dann, wenn u = λv.□Vorlesungsnotiz: Beim Auflösen muss der Skalar aus dem zweiten Argumentgeholt werden und wird komplex konjugiert. Evtl. ||u + v|| 2 = (u + v, u + v) =||u|| 2 + 2Re(u, v) + ||v|| 2 , und hier steht im gemischten Term (u, v)(v, u).Die wichtigste Folgerung istSatz 2.9 Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann isteine Norm.Beweis:||v|| = (v, v) 1/2 , v ∈ V||u + v|| 2 = ||u|| + 2Re(u, v) + ||v|| 2 ≤ ||u|| 2 + 2||u|| ||v|| + ||v|| 2 = (||u|| + ||v||) 2 .□Satz 2.10 Sei V endlichdimensional und seien || · || und ||| · ||| zwei Normen auf V .Dann sind || · || und ||| · ||| äquivalent, d.h. ∃ C 1 , C 2 > 0:C 1 |||v||| ≤ ||v|| ≤ C 2 |||v|||.20