Skriptum zur Vorlesung

3. T T ∗ und T ∗ T sind selbstadjungiert.Satz 2.20 Selbstadjungierte Operatoren haben reelle Eigenwerte. Eigenvektoren zuunterschiedlichen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.Beweis: Sei T selbstadjungiert. Sei T x = λx, x ≠ 0. Dann giltλ(x, x) = (λx, x) = (T x, x) = (x, T x) = (x, λx) = λ(x, x)und wegen (x, x) ≠ 0 gilt λ = λ.Sei T x = λ 1 x, T y = λ 2 y, λ 1 ≠ λ 2 , x ≠ 0, y ≠ 0. Dann giltλ 1 (x, y) = (T x, y) = (x, T y) = λ 2 (x, y) = λ 2 (x, y)und damit wegen λ 1 ≠ λ 2 : (x, y) = 0.□Definition 2.21 (Positiv definite Operatoren)Sei U Vektorraum mit Skalarprodukt, T ∈ L(U, U). T heißt (symmetrisch) positivdefinit, wenn T selbstadjungiert ist undGilt nur ≥, so heißt T positiv semidefinit.(T u, u) > 0 ∀u ∈ U, u ≠ 0.Satz 2.22 Sei U Vektorraum mit Skalarprodukt, T ∈ L(U, U) symmetrisch positivdefinit. Dann ist(u, v) T := (T u, v), u ∈ U, v ∈ Uein Skalarprodukt auf U.Satz 2.23 Sei T ∈ L(U, V ). T ∗ T ist positiv semidefinit. Falls T injektiv ist, so ist Tpositiv definit.Beweis: T ∗ T ist selbstadjungiert, und (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0.□Den Satz über die Jordan–Normalform kennen Sie aus der Linearen Algebra I. Bittemachen Sie sich klar, dass Ihre Formulierung der folgenden entspricht.Satz 2.24 (Jordan–Normalform)Sei A eine (n × n)–Matrix. v heißt Hauptvektor k. Stufe zum Eigenwert λ von A, falls(A − λI) k v = 0, (A − λI) k−1 v ≠ 0.Hauptvektoren erster Stufe sind Eigenvektoren.24