Skriptum zur Vorlesung

1. f(x, y) = x + yM x =x∣x + y ∣ .Dieser Term kann sehr groß werden, wenn der Nenner fast verschwindet, derZähler aber nicht, also für x ∼ −y.2. f(x, y) = xyfür x ∼ ˜x.M x = maxξξy∣xy∣ ∼ 1Wir folgern daraus: Die Multiplikation ist problemlos, bei der Addition zweier Zahlenx und y kann der relative Fehler explodieren, falls x ∼ −y. Dieses Phänomen heißtAuslöschung.Definition 2.41 (Kondition und Stabilität)1. Ein Problem heißt gut gestellt ( gut konditioniert), wenn kleine Änderungenin den Parametern zu kleinen Änderungen im Ergebnis führen. Ein Problemheißt schlecht gestellt ( schlecht konditioniert), wenn kleine Änderungen inden Parametern zu großen Änderungen im Ergebnis führen. Dieser Fehler istrein analytisch und unvermeidbar.2. Ein Algorithmus zur Lösung eines Problems heißt (vorwärts–)stabil, falls erbei kleinen Änderungen der Eingangsdaten ein Ergebnis liefert, dessen Fehler( Algorithmusfehler) in der Größenordnung des analytischen Fehlers liegt.Ansonsten heißt er instabil.3. Für das Problem y = f(x) betrachten wir den implementierten Algorithmusỹ = g(x). Falls ỹ = f(˜x) für ein ˜x mit ||x − ˜x||/||x|| klein, so heißt g rückwärtsstabil.Es gilt: Rückwärtsstabile Algorithmen sind (vorwärts–) stabil.Was im Einzelfall klein oder groß heißt, wird durch die Anwendung vorgegeben.Beweis zur Bemerkung: Es sei x exakt bekannt, die Näherung ỹ für y = f(x) werdeauf einem Rechner ausgerechnet, es sei ỹ = f(˜x) und f ∈ C 1 . Dann ist derunvermeidbare Fehler beschränkt durch∣eps supξ∣ f ′ (ξ) ∣∣∣∣ f(x) x .32