Skriptum zur Vorlesung

sind Permutationsmatrizen zu σ = (2, 3, 4, 1) bzw. (4, 1, 2, 3). Offensichtlich giltBemerkung:P P t = P t P = I.1. LA lässt die ersten i Zeilen von A konstant und addiert jeweils auf die Zeileni + 1 bis n das l j,i –fache der i. Zeile auf.2. Die Inverse von L ergibt sich durch Multiplizieren der Elemente unterhalb derHauptdiagonalen mit −1, denn um die Operation wieder rückgängig zu machen,muss die i. Zeile entsprechend wieder abgezogen werden.3. Das Produkt zweier Elementarmatrizen L (i) L (i+1) zu den Spalten i und i+1 isteine normierte linke untere Dreiecksmatrix, die durch Überlagerung von L (i)und L (i+1) entsteht.Begründung: Statt erst ein Vielfaches der (i + 1). und dann ein Vielfaches deri. Zeile zu addieren, kann man beides gleichzeitig tun.4. P A bringt die Zeilen von A in die Reihenfolge σ. AP t bringt die Spalten in dieReihenfolge σ. P AP t bringt Zeilen und Spalten in die vorgegebene Reihenfolge,insbesondere bleiben Diagonalelemente Diagonalelemente.5. Produkte von Permutationsmatrizen sind Permutationsmatrizen.6. Sei L i eine Elementarmatrix zur Spalte i und P eine Permutation mit P e k = e kfür k ≤ i. Dann ist L ′ i = P L i P t wieder Elementarmatrix, es gilt P L i = L ′ iP .Beweis: Sei L i = (I + F ). F hat nur Einträge in der i. Spalte ab Zeile i + 1.P L i P t = P (I + F )P t= I + P F P t .Da Rechtsmultiplikation mit P t nur die Spalten k mit k > i betrifft, dort abernur Nullspalten stehen, ist F P t = F . Da Linksmultiplikation nur die Zeilenj mit j > i vertauscht, ändert F seine Form nicht und (I + P F ) ist wiederElementarmatrix.□Offensichtlich sind das genau die Matrizen, die wir zur exakten Beschreibung desGauß–Algorithmus benötigen. Wir formulieren dies als44