Mathematische Grundlagen zur 3D Berechnung - Mensch und ...

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a 1,1∗x 1a 1,2∗x 2a 1,3∗x 3=b 1a 2,1∗x 1a 2,2∗x 2a 2,3∗x 3=b 2a 3,1∗x 1a 3,2∗x 2a 3,3∗x 3=b 3Man kann in diesem Fall einen Spaltenvektor x ausklammern:x 1x = x32xMöglich ist das, weil die Multiplikation der Matrix A mit xgerade wieder unser Gleichungssystem ergibt.[a 1,1a 1,2a 1,3a 2,1a 2,2a 2,3a 3,1a 3,2a 3,3] x [a 11,1∗x 1a 1,2∗x 2a 1,3∗x 3∗ = a 2,1∗x 1a 2,2∗x 2a 2,3∗x 3x 2x 31b 2a 3,1∗x 1a 3,2∗x 2a 3,3∗x 3]=b 3 bKurz gesagt haben wir aus A=b folgendes gemacht:A∗x=bDiese Gleichung besteht aus A, der quadratischen Matrix, x , dem Vektor,der die Ergebnisse jedes einzelnen Koeffizienten beinhaltet <strong>und</strong> schließlichb , unseren Ergebnisvektor, den wir hinter dem „ =“ der Gleichungenablesen können. Wollen wir diese Gleichung jetzt nach x umstellen, somüssten wir diegesamte Gleichung durch die Matrix A teilen! Doch wie stellt man das an?x= bA = b∗A −1Da es keine Regel gibt, nach der man einen Vektor durch eine Matrixteilen darf, muss man eben eine Matrix finden, die den Kehrwert (dasInverse ) dieser Matrix darstellt. Dann können wir b , mit A −1multiplizieren <strong>und</strong> erhalten einen Vektor, der alle Ergebnisse unsererKoeffizienten enthält.Bei dieser Rechenoperation ist darauf zu achten, dass man durch einen Wertteilt. Dieser Wert darf nicht Null werden, die Matrix wäre sonst nicht lösbar
(Division durch Null ist nicht definiert).Wir können mit Hilfe der Determinante von Matrix A herausfinden, ob eineLösung existiert, oder nicht. Wenn die Determinante gleich Null ist, soexistiert gerade keine Lösung für das LGS. Ist sie ungleich von Null,existiert eine Lösung, die Matrix ist invertierbar.Nachdem wir die Determinante ermittelt haben, geht es daran, die Matrix zuInvertieren, also aus A, A −1 zu machen. Dazu benötigen wir denGAUSSschen Algorithmus.Bevor wir jedoch eine Matrix invertieren, sehen wir uns den allgemeinenAlgorithmus genauer an.Man kann gründsätzlich drei Hauptschritte unterteilen:1. Umformen einer Gleichung2. Addieren dieser Gleichung zueiner anderen3. Vertauschen einer Zeile/SpalteDas Ziel diese Umformungen ist das Herstellen einer unteren Dreicksmatrix.[a 1,1a 1,2a 1,30 a 2,2a 2,30 0 a 3,3]Schreiben wir diese Matrix jetzt wieder als LGS, dann wird ersichtlich, wasuns die ganzen Rechenschritte genützt haben.
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