Mathematische Grundlagen zur 3D Berechnung - Mensch und ...

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a 1,1∗x 1a 1,2∗x 2a 1,3∗x 3=b 10∗x 1a 2,2∗x 2a 2,3∗x 3=b 20∗x 10∗x 2a 3,3∗x 3=b 3Faktoren, die mit 0 multipliziert werden, fallen weg.Demnach steht in der letzten Zeile:a 3,3∗x 3=b 3Stellen wir das jetzt nach x 3um, so erhalten wir: x 3= b 3a 3,3Diesen neuen Wert können wir jetzt in diedarüber liegende Zeile einsetzen und erhalten durch umstellen x 2.x 2und x 3setzen wir in die erste Zeile ein und erhalten x 1.Sie werden sich jetzt sicher fragen, wie man denn eine solche Dreiecksformeiner Matrix herstellt. Folgendes Beispiel soll das erläutern.
Erstens: Letzte Zeile umformen, sodass noch ein Faktor ungleich Null ist.[1 2 3 13]4 5 6 27 8 7Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache(KGV) aus Elementa 1,1und a 3,1KGV =7. Danach erweitert man jede Zeile auf dasgefundene KGV. Jetzt kann man rechnen: Zeile 3 Zeile 1 = neue Zeile 3.[1 2 3 13]∗74 5 6 27 8 7 ∗1=[1 2 3 14 5 6 20 −6 −14 −4]Jetzt bestimmt man das KGV aus Element a 1,1und a 2,1KGV =4.Danach erweitert man wieder und subtrahiert. Eine neue Zeile 2 entsteht[1 2 3 1 ∗44 5 6 2 ∗1 =0 −6 −14 −4][1 2 3 10 −3 −6 −20 −6 −14 −4]Nun müssen wir nur noch das Element a 3,2zu null machen[1 2 3 10 −3 −6 −20 −6 −14 −4]∗−2∗1=[1 2 3 10 −3 −6 −20 0 −2 0 ]Unser erstes Ergebnis lautet also x 3= 0 2 =0Nun Stellt es kein Problem mehr dar, das LGS zu lösen.durch formales Einsetzen der Lösung für x 3in die zweite Zeileerhalten wir x 2, Und Schließlich durch einsetzen von x 2und x 3in die erste Gleichung erhalten wir x 1.
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