Mathematische Grundlagen zur 3D Berechnung - Mensch und ...

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Ortsvektor.Man errechnet den Betrag eines Vektors mit Hilfe des Pythagoras :∣V2 D∣= x 2 y 2 ;∣V3 D∣= x 2 y 2 z 22.1.1.1 Das Kartesische KoordinatensystemFür das Thema dieses Buches wollen wir eine Festlegung bezüglich derKoordinatenachsen treffen. Das kartesische Koordinatensystem soll fürunsere Zwecke (und auch für die meisten anderen) ein sogenanntes„R echtssystem“ se in. Das bedeutet, dass die Koordinatenachsen, welche allesenkrecht zueinander stehen, nach der „ SchraubenRegel“ angeordnetwerden.Diese Regel bedeutet sinngemäß: Wenn man eine Schraube rechtsherum inein Gewinde dreht, so ist die Resultierende Bewegungsrichtung derSchraube genau 90° zur Drehrichtung.Anders könnte man auch sagen:Man stelle sich zwei Achsen vor, X und Y auf ein Blatt Papier gezeichnet.Wenn wir jetzt an der XAchse anfassen könnten und diese in Richtung derYAchse drehen, und uns dabei vorstellen, wir hätten den Schraubenkopf andie XAchse geschweißt, erhalten wir o.g. Effekt. Die Schraube würdeförmlich aus dem Blatt herauskommen. Und genau in dieser Richtung mussdann die ZAchse liegen. Das alles ist auch unter dem Begriff „ RechteHandRegel“ bekannt, die besagt, dass man den Daumen seiner rechtenHand ausstrecken soll, dazu den Zeigefinger senkrecht ausstrecken. Diesebeiden Finger symbolisieren die X und YAchse. Nun den Mittelfinger einwenig in die dritte Dimension bewegen, so erhalten wir mit ihm dieRichtung der ZAchse. Wem das alles gar nichts sagt, der möge sich diesesBild genau einprägen:
ZXYEin Punkt P in einem solchen dreidimensionalen Koordinatensystem wirdin Vektorschreibweise allgemein so dargestellt:=x VV y Vz V2.1.1.2 Das PolarkoordinatensystemEs ist bekannt, dass Koordinatenangaben mit Hilfe der Komponenten x undy gemacht werden können.Eine weitere Möglichkeit zur Eindeutigen Darstellung ist die Schreibweiseals Polarkoordinaten. Ein Punkt P wird beschrieben durch den Abstand zumNullpunkt und dem Winkel dieser Abstandsgeraden mit der xAchse.yrPxAus dieser Beziehung und den Winkelfunktionen lassen sich beide Systemeineinander umrechnen.Zur Berechnung der Kartesischen Koordinaten aus Polarkoordinaten nutztman folgende Gleichungen:x=r∗cosy=r∗sin
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