De Divina Proportione - Kunstlexikon Saar

Die Platonischen Körper und ihre ein- und umbeschriebenen Sphären
Diese fünf Polyeder besitzen bezüglich ihrer sogenannten „Mittelpunkte“
bemerkenswerte gemeinsame Eigenschaften:
Errichtet man auf dem Mittelpunkt einer jeden Seitenflächen je eine Senkrechte, die
in das Innere des Polyeders führt, so schneiden sich diese Senkrechten in einem
einzigen Punkt, dem „Mittelpunkt“ des Polyeders. Die Mittelpunkte der
Seitenflächen haben alle denselben Abstand vom Mittelpunkte des Polyeders.
Es läßt sich daher einem jeden Polyeder eine Kugel einbeschreiben, deren
Mittelpunkt zugleich der Mittelpunkt des Polyeders ist, und die jeweils die Seitenflächen
des Polyeders in ihren Seitenmittelpunkten (sozusagen von „innen“ her)
berührt; sie heißt die „einbeschriebene Sphäre“ oder die „Inkugel“ des Polyeders.
Ebenso haben die Eckpunkte des Polyeders alle denselben Abstand vom Mittelpunkte
des Polyeders; dieser Abstand ist naturgemäß größer ist als die Abstände
der Seitenmittelpunkte. Es läßt sich daher ein jedes Polyeder von einer Kugel
umschließen, die wieder denselben Mittelpunkt hat wie die „Inkugel“ und mit ihrer
Hülle jetzt aber eine jede Polyederecke (sozusagen von „außen“ her) berührt; sie
heißt die „umbeschriebene Sphäre“ oder die „Umkugel“.
Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
Die Platonischen Körper mit ihren Umkugeln nach Piero della Francesca 3
Die polaren Beziehungen der Platonischen Körper untereinander
Vier von den Platonischen Körpern, nämlich der Würfel, das Oktaeder, das
Dodekaeder und das Ikosaeder, sind einander paarweise zugeordnet. Sie lassen sich
durch geometrische Konstruktion ineinander überführen:
Verbindet man sämtliche Seitenmittelpunkte eines Platonischen Körpers mit den
Seitenmittelpunkten der jeweils benachbarten Seitenflächen, so bilden die
Verbindungslinien die Kanten von neu entstehenden Polyedern. Diese besitzen
ebenso viele Eckpunkte wie der ursprüngliche Polyeder Flächen hat, und ebenso
viele Flächen, wie der ursprüngliche Polyeder Ecken besitzt.
3 Abb. aus: Piero della Francesca, Libellus de quinque corporibus regularibus.
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