"Квантовая теория", ч. 1.

12расчетом убеждаемся, что:〈x2 〉 − 〈 x 〉 2 = | a(t)|22Отметим следующие асимптотики:)| a(t)| = a(1 + ¯h2 t 28 m 2 a + o(t) , 4 t → 0 (1.20)| a(t)| = ¯h2 m a t , 2 t → ∞ (1.21)Очевидно, (1.20) соответствует ускоренному движению в первый момент времени.Асимптотика (1.21) отвечает расплыванию с постоянной скоростью.Задача 1.3. Докажите соотношение неопределенностей для пакетов (1.10).Решение. Рассмотрим функцию:f λ (x) =.(λ dd x + x )ψ(x) , λ ∈ R. (1.22)Сдвигом начала координат и изменением системы отсчета можно добиться того, что:〈 x 〉 = 0 , 〈 k 〉 = 0 .Предположим, что f λ (x) ∈ L 2 . Тогда,∫∫0 < |f λ (x)| 2 dx = |f λ (x)| 2 dx =λ 2 ∫∣ ∣∣∣ dψd x∣λ 2 ∆k 2 + ∆x 2 + λ2∫dx +x 2 |ψ| 2 dx + λ∫ (x ψ ∗ dψd x − ψ∗∫ (λ d ) (d x + x ψ ∗ (x) λ d )d x + x ψ(x) dx∫ (x ψ ∗ dψ )d x + x ψ dψ∗ dx =d xdd x (x ψ ) +λ 2 ∆k 2 + ∆x 2 + λ ≥ 0Условие неотрицательности квадратного трехчлена имеет вид:d ( )) x |ψ|2dx = (1.23)d x1 − 4∆k 2 ∆x 2 ≤ 0 ⇒ ∆k ∆x ≥ 1/2 . (1.24)Q.E.D.