"Квантовая теория", ч. 1.

33Решение. Рассмотрим вектора ψ = ψ 1 +i ψ 2 , ˜ψ = ψ 1 +ψ 2 . По условию средние в такихсостояниях являются действительными числами, что приводит к:R(ψ 1 , Â ψ 2) = R(ψ 2 , Â ψ 1)I(ψ 1 , Â ψ 2) = − I(ψ 2 , Â ψ 1) ,или(ψ 1 , Â ψ 2) = (Â ψ 1, ψ 2 )Задача 3.3. Найдите матричные элементы операторов координаты ˆr и импульса ˆp вкоординатном и импульсном представлениях.Решение. По определению :ψ(r) = 〈r | ψ 〉 .Понятно, что достаточно рассмотреть к.л. из составляющих этих векторныхоператоров. Например ˆX и ˆP x , тогда∫∫〈 x | ˆX| ψ 〉 = 〈 x | ˆX| x ′ 〉〈 x ′ | ψ 〉 dx ′ = 〈 x | ˆX| x ′ 〉ψ(x ′ ) dx ′ = x ψ(x) . (3.30)Поэтому〈 x | ˆX| x ′ 〉 = x ′ δ(x ′ − x) . (3.31)Понятно, с точностью до переобозначений букв то же самое имеет место для оператораимпульса в импульсном представлении. Определим теперь вид оператора импульса вкоординатном представлении в базисе собственных состояний оператора ˆX.Действуя аналогично (3.30) получаем,∫∫〈 x | ˆP x | ψ 〉 = 〈 x | ˆP x | x ′ 〉〈 x ′ | ψ 〉 dx ′ =〈 x | ˆP x | x ′ 〉ψ(x ′ ) dx ′ = −i ¯h ∂ ψ∂ x . (3.32)Используя понятие производной δ−функции, окончательно имеем:〈 x | ˆP x | x ′ 〉 = i ¯h ∂∂ x ′ δ(x′ − x) . (3.33)Для оператора координаты в импульсном представлении (для простоты мы опустиликоординатный индекс ”x”):∫∫〈 p | ˆX| ψ 〉 = 〈 p | ˆX| p ′ 〉〈 p ′ | ψ 〉 dp ′ =〈 p | ˆX| p ′ 〉 ˜ψ(p ′ ) dp ′ = i ¯h ∂ ˜ψ∂ p . (3.34)