"Квантовая теория", ч. 1.

53ЛНЗ решений из L 2 (x > 0) для уравнений:Ĥψ = ± i ψ , (5.22)− d2d x 2 ψ = e± i π/2 ψ ,∫+∞0|ψ(x)| 2 d x < +∞Таких решений всего два (по одному на каждое уравнение (5.22)):ψ 1 (x) = C exp ( −e i π/4 x ) , ψ 2 (x) = C exp ( −e −i π/4 x ) .Дефектные числа равны 1, поэтому самосопряженные расширения такого операторапараметризуются комплексным числом z = exp(i γ). Согласно формуле Неймана:˜ψ(x) = ψ(x) − C exp ( −e i π/4 x ) + C exp ( −e −i π/4 x + i γ ) .Т.о. первоначальная область определения эрмитова оператора, состоящая, например,из функций, удовлетворяющих граничным условиям:ψ(0) = ψ ′ (0) = 0 , (5.23)расширяется до множества функций с граничными значениями для них и ихпроизводных на стенке:( ) i γψ(0) = −C (1 − exp(i γ)) = 2 i C exp sin γ 2 2( ) i γ( γψ ′ (0) = C e i π/4 − C e −i π/4 exp (i γ) = 2 i C exp cos2 2 + π )4Для представления (5.24) в наиболее симметричной форме, переопределим γ:γ → π/2 − β ,(5.24)тогда:(ψ(0) = −2 i C exp i π/2 − βψ ′ (0) = 2 i C exp2(i π/2 − β2)( βsin2 − π )4( β2 − π )4)cos(5.25)В результате эрмитов оператор Ĥ = − d2d x 2 , определенный на множестве функций (5.23)расширяется до самосопряженного оператора с граничными условиями:где α = β 2 − π 4 .ψ(0) cos α + ψ ′ (0) sin α = 0 , (5.26)