"Квантовая теория", ч. 1.

29называемую собственным дифференциалом. Не трудно показать, что именнособственные дифференциалы (которые принадлежат L 2 , и, в силу принципасуперпозиции, описывают состояния, в которых измеряемая величина принимаетзначения из данного интервала), могут быть нормированы:⎧⎨ 0 λ 1 ≠ λ 2 ; [λ 1 , ∆λ 1 ] ∩ [λ 2 , ∆λ 2 ] = ⊘(∆ λ1 ψ, ∆ λ2 ψ) =⎩ ∆λ + o(∆λ) λ 1 = λ 2 ; [λ 1 , ∆λ 1 ] ∩ [λ 2 , ∆λ 2 ] = [λ, ∆λ]или, если ввести δ-функционал Дирака:∫(ψ(x, λ 1 ), ∆ λ2 ψ(x)) =λ 2 ∫+∆λdxλ 2 ∫+∆λλ 2ψ ∗ (x, λ 1 ) ψ(x, λ) =(3.5)λ 2δ(λ 1 − λ)dλ = χ [λ2 ,λ 2 +∆λ](λ 1 ) (3.6)Здесь χ - характеристическая функция интервала.Непосредственно из определения вытекает, что в случае оператора координатыψ(x, x 0 ) = δ(x − x 0 ) . (3.7)Таким образом, при наличии непрерывного спектра любое состояние (пакет)представляется в виде:ψ(x) = ∑ n(φ n , ψ) φ n (x) +∫c(λ) =∫contdλ c(λ) ψ(x, λ) (3.8)dx ψ ∗ (x, λ) ψ(x)С математической точки зрения обобщенные вектора являются (непрерывными)линейными функционалами (обобщенными функциями) на области определениянеограниченного оператора D(Â), которая предполагается всюду плотной в L 2. Вдираковских обозначениях им соответствуют бра-вектора - вектора обобщенныхсостояний :〈 λ | : ∀ | ψ〉 ∈D(Â) : 〈 λ |(| ψ〉) = 〈 λ | ψ〉 (3.9)С этой точки зрения, используя (3.7) можно сказать, что значение обычной волновойфункции в некоторой точке является координатой вектора состояния в базисесобственных обобщенных состояний оператора координаты:ψ(r) = 〈 r | ψ 〉 (3.10)