"Квантовая теория", ч. 1.

27Матричное представление такого оператора в к.л. счетном базисе {| φ n 〉} легкополучается с использованием дираковских обозначений: = ∑ k,nA k, n =A k, n | φ k 〉 〈 φ n | (3.2)〈 〉φ k |Â| φ n .Эрмитово сопряженный оператор определяется правилом:(ψ 1 , Âψ 2) = († ψ 1 , ψ 2 ) . (3.3)В квантовой механике приходится иметь дело с бесконечномерным пространствомвекторов состояний L 2 . Основное отличие бесконечномерного случая отконечномерного связано с тем, что в конечномерном нормированном линейномпространстве любой линейный оператор (функционал) непрерывен. Вбесконечномерном нормированном пространстве это уже не так, т.е. существуютлинейные функции на векторах, не являющиеся непрерывными (!). Кроме того,линейные операторы (функционалы) могут быть определены не на всем линейномпространстве, а лишь на его подмножестве. Например, оператор дифференцированиякорректно определен на множестве дифференцируемых функций, которое заведомоменьше чем пространство L 2 . Это обстоятельство приводит к ряду математическихтрудностей при определении операторов, соответствующих физическим величинам.При этом необходимо следить за областью определения операторных выражений,для того, что бы все действия имели смысл (в физических приложениях естественнопотребовать, что бы область определения оператора была плотным подмножеством вL 2 ).Все точки спектра λ линейного оператора могут отвечать следующим ситуациям:1) Операторспектр). − λÎ необратим, т.е. ядро Ker( − λÎ) нетривиально (дискретный2) Множество значений оператора − λÎ не совпадает со всем пространством.Последнее обстоятельство может означать, что:a) Область значений оператора  − λÎ плотна в L 2, но обратный оператор неограничен (непрерывный спектр).