"Квантовая теория", ч. 1.

23Решение. По построению вектор ψ 2 − ˆP ψ 2 ортогонален всем векторам вида ˆP ψ 1 , ∀ ψ 1 ,поэтому(ψ 2 − ˆP ψ 2 , ˆP ψ 1 ) = (ψ 2 , ˆP ψ 1 ) − ( ˆP ψ 2 , ˆP ψ 1 ) =0( ˆP ψ 2 , ψ 1 − ˆP ψ 1 ) = ( ˆP ψ 2 , ψ 1 ) − ( ˆP ψ 2 , ˆP ψ 1 ) =0Вычитая эти равенства получаем требуемое утверждение.Задача 2.5. Даны состояния, изображаемые волновыми пакетамиk 1 ∫+∆k 1ψ 1 (x) = C 1 exp(i k x) dkk 1k 2 ∫+∆k 2ψ 2 (x) = C 2 exp(i k x) dkk 2Определите вероятность обнаружения частицы, находящейся в состоянии ψ 2с характеристиками, соответствующими состоянию ψ 1 . Рассмотрите нормировкуволнового пакета, соответствующую нормировке на δ-функцию волн де Бройля.Решение. Состояния представляют собой суперпозиции волн дБ с единичнымиамплитудами. Константы нормировки определяются стандартным образом (логичновоспользоваться равенством Планшереля (1.9)):C i =1√ 2 π ∆ki.Возможность точного отделения одного состояния от другого связана с проверкойортогональности векторов состояний. Данные состояния будут ортогональными, еслиинтервалы распределения волн дБ [k 1 , k 1 + ∆k 1 ] , [k 2 , k 2 + ∆k 2 ] пересекаются помножеству нулевой меры (в данном случае, такое пересечение может быть точкойили пустым множеством). В противном случае, частица, находящаяся в состоянии ψ 2проявляет характеристики состояния ψ 1 . Искомая вероятность есть:p = L([k 1, k 1 + ∆k 1 ] ⋂ [k 2 , k 2 + ∆k 2 ]) 2∆k 1 ∆k 2.Заметим, что в случае, когда один пакет является “подпакетом“ другого, мы получаемв точности геометрическую вероятность.