"Квантовая теория", ч. 1.

64[ ε i m n L m p n , ε j a b L a p b ] = ε i m n ε j a b ( L m p n L a p b − L a p b L m p n ) =i ¯h ε i m n ε j a b (ε k n a L m p k p b − ε k b m L a p k p n + ε m a k L k p b p n ) =i ¯h ε i m n (δ k b δ j n − δ j k δ b n )L m p k p b + i ¯h ε i m n (δ j k δ a m − δ j m δ a k )L a p k p n +i ¯h ε i m n (δ j m δ k b − δ j k δ m b )L k p b p n = −i ¯h ε i j m L m p 2 .[i ¯h p i , ε j a b L a p b ] = − [ε i m n L m p n , i ¯h p j ] .m γ i ¯h rγ[ xir , ε j a b L a p b]= ε j a b m γi ¯h ε j a b m γ([ xi] [r , L xi])a p b + L ar , p b =(ε i a kx kr p b + L a(δi br − x i x br 3 ))=(x i x)bδ i j x · p − x j p i + ε i j a L a − ε j a b L ar 2m γ i ¯h( rδ i j x · p − x j p i + ε i j a L a + i ¯hr ( x 2 j p b x i x b − x b p j x i x b )=).−γ i ¯h r[γ ε i a b L a p b , x ] [jr , xj]= −γr , ε i a b L a p b =(δ i j x · p − x i p j + ε j i a L a + i ¯h)r ( x 2 i p b x j x b − x b p i x j x b )i ¯h m γ[ xi] (r , p j = −¯h2r m γ δ i j − x i x)j= −i ¯h m γr 2[p i , x jr].Из полученных выражений окончательно получим:[A i , A j ] = −2 i ¯h m ε i j k L k H . (6.18)В силу (6.18) собственные числа операторов A 2 , L 2 и H связаны некоторымсоотношением. Непосредственным вычислением находим, что:(A 2 = ε i n m L n p m + i ¯h p i + mγ x ir) (ε i a b L a p b + i ¯h p i + mγ x irПоэтому на подпространстве связанных состояний (E = − κ22 m < 0):)= 2 m H(L 2 +¯h 2 )+m 2 γ 2 .(6.19)[A i , A j ] = i ¯h κ 2 ɛ i j k L k , (6.20)A 2 = −κ 2 (L 2 + ¯h 2 ) + m 2 γ 2 . (6.21)