"Квантовая теория", ч. 1.

55543|A|2102 4 6 8 10 12 14 16 18 20kaРис. 6. График зависимости |A| от параметра ka при Ω a = 25 (красный) и при Ω a = 5 (синий).Решение. Собственная функция оператора Шредингера в области x ∈ [0, a], очевидно,имеет вид:ψ(x) = A exp(ikx) + B exp(−ikx) .В силу свойства периодичности потенциала (теорема Блоха) в соседнем интервалеx ∈ [a, 2a] решение имеет вид:ψ(x) = exp(iqa) (A exp(ik(x − a)) + B exp(−ik(x − a))) .Граничные условия в точке x = a с учетом характера δ - потенциала (см. (5.13)):A exp(ika) + B exp(−ika) = exp(iqa)(A + B)ik(A exp(ika) − B exp(−ika)) = ik exp(iqa)(A − B) − 2 Ω exp(iqa)(A + B)Условие разрешимости данной однородной системы:cos qa = cos ka + Ω ksin kaс необходимостью приводит к дисперсионному условию:∣ cos ka + Ω ∣ ∣∣∣k sin ka ≤ 1 ⇒∣(ka cos − atan Ω )∣ ∣∣∣≤kкоторое определяет разрешенные зоны энергии (см. Рис 7).√11 + ( Ωk) 2