"Квантовая теория", ч. 1.

16Задача 1.8. Пустьψ(x, t) = √ 1 ∫+∞ϕ(k, t) exp (i k x) dk2 πПокажите, что:〈x n 〉 =∫+∞−∞−∞ϕ ∗ (k, t)(i d ) nϕ(k, t) dkdkРешение. См. (1.13) + индукция по числу производных.1.3. Задачи для самостоятельной работы* 1.1. Для каждого из состояний, созданного в начальный момент времени, иописываемого волновой функцией (координатное представление):(Cψ(x, 0) = √ , ψ(x, 0) = C exp − | x | ), ψ(x, 0) = C exp1 + x2 a(− x2определить: константу нормировки, средние значения и дисперсии координаты иимпульса (проверить соотношение неопределенности).* 1.2. Определите асимптотики (при t → 0 + и t → + ∞) для временной зависимостидисперсии координаты свободного квантового пакета, заданного в начальный моментвремени функцией:⎧⎨ 0 , | x | > a/2ψ(x, 0) =⎩ C , | x | < a/2Зависит ли асимптотическое поведение дисперсии координаты от начальной формыпакета? Если да, то какие его характеристики это определяют? (Указание: Найдите2-ю производную по времени для среднеквадратичного отклонения)* 1.3. Волновой пакет, задан в начальный момент времени функцией:ψ(x, 0) = C sin k 0 xxОпределите амплитуды волн де Бройля c(k), которые формируют такой пакет.* 1.4. Волновая функция пакета имеет вид:⎧C sin ⎪⎨π x |x| ≤ aaψ(x) =⎪⎩ 0 |x| > a2 x 2 0)