"Квантовая теория", ч. 1.

79Очевидно имеет место представление:Ĥ = a † a + E 0 .Не трудно заметить, что â следует выбрать в виде:где ψ 0â = p + i ψ′ 0ψ 0,- (вещественная) волновая функция основного состояния (для удобства мыположим m = 1/2):â † â =( ) ( )ˆp + i ψ′ 0ˆp − i ψ′ 0ψ 0 ψ 0= p 2 + ψ′′ 0ψ 0= ˆp 2 + V (x) − E 0 .Последовательно исключая из спектра значения E n определим последовательностьоператоров:Ĥ n = â † n â n + E n ,â n | E k 〉 = √ E k − E n | E k−1 〉 , â † n | E k 〉 = √ E k+1 − E n | E k+1 〉 .Понятно, что имеет место включение SpecĤn+1 ⊂ SpecĤn и в силу определениявыполняются соотношения:â n Ĥ n =Ĥn+1 â na † n Ĥn+1 = Ĥn a † n (8.5)из которого вытекает, что имеет место представление:Ĥ n+1 = â n a † n + E n . (8.6)Следовательно, задача о нахождении спектра операторапоследовательности операторов â n (см. Задачу 8.2).Ĥ сводится к построению8.2. ЗадачиЗадача 8.1. С помощью операторов рождения-уничтожения покажите, что приопределенном способе нормировки выполняется тождество для полиномов Эрмита:2 x H n = H n+1 + 2 n H n−1