"Квантовая теория", ч. 1.

6С помощью функции(φ(p, t) = c(p, t) exp − i E t )¯hсоотношения (1.2) и (1.6) могут быть записаны в виде:∫1(ψ(r, t) =φ(p, t) exp(2π ¯h) 3/2Λ∫1φ(p, t) =(2π ¯h) 3/2V(ψ(r, t) expi p · r¯h− i p · r¯h)dΛ(1.7))d V (1.8)Здесь Λ обозначает объем импульсного пространства. Полученные соотношения сматематической точки зрения выражают тот факт, что функции ψ и φ связаныпреобразованием Фурье по пространственным переменным. Отметим, что требованиеквадратичной интегрируемости волновой функции обеспечивает существование какпрямого так и обратного преобразования Фурье и приводит к выполнению равенстваПланшереля :∫V∫| ψ(r, t)| 2 dV =Λ| φ(p, t)| 2 dΛ . (1.9)Обратимость преобразования Фурье на множестве функций, удовлетворяющихусловию (1.1), означает эквивалентность импульсного и координатного представлений.Более того, можно показать, что функция и ее Фурье-образ не могут бытьодновременно сосредоточенными в ограниченных множествах своих аргументов: чемболее сосредоточена функция ψ(r, t) в пространстве, тем более размыт в импульсномпространстве ее Фурье-образ φ(p, t) (см. Задачу 1.3). Это обстоятельство и приводитсуществованию соотношения неопределенностей между импульсом и координатой,впервые введенном В. Гейзенбергом. В терминах волновых пакетов оно имеет вид:∆k i ∆x i ≥ 1 2 , (1.10)где√ ∫ (∫) 2∆k i = ki 2|φ(k, t)|2 dk − k i |φ(k, t)| 2 dkΛΛ√ ∫ (∫2∆x i = x 2 i |ψ(r, t)|2 dr − x i |ψ(r, t)| dr) 2 .VVВероятностная природа квантовомеханических объектов в рамках понятия волновойфункции основана на интерпретации квадрата модуля волновой функции как