"Квантовая теория", ч. 1.

78Операторы â и â † оказываются аналогичными операторам ˆL ± , поскольку осуществляютпереход между стационарными состояниями по энергетической лестнице:â | n 〉 = √ n | n − 1 〉â † | n 〉 = √ n + 1 | n + 1 〉 .В частности:| n〉 =(↠) n√n !| 0 〉 ,〈n | = 〈0 | (â)n √n !. (8.3)Уровни энергии одномерного гармонического осциллятора имеют вид:(E = ¯h ω n + 1 ), n = 0, 1, 2 ... (8.4)2и поэтому собственные состояния оператора (8.1) нумеруются неотрицательнымцелым индексом - главным квантовым числом. В собственном для оператора (8.1)представлении они могут быть отождествлены с вектор столбцами (ket-векторамив терминологии Дирака) | n〉 на n-м месте у которых стоит единица, а всеостальные равны 0. В силу самосопряженности оператора (8.1) они являютсявекторами гильбертова пространства L 2 и образуют его базис. В силу инвариантностиотносительно преобразования инверсии собственные состояния обладают определеннойчетностью, которая определяется четностью главного квантового числа. Действиеоператоров â † , â можно интерпретировать как рождение и уничтожение квантаэнергии ¯h ω. Поэтому они и называются операторами рождения и уничтожениясоответственно. Оператор N = â † â естественно назвать оператором числа квантовэнергии ¯h ω или оператором числа заполнения уровня E = ¯h ω.Решение задач данного раздела основывается на алгебре операторов a и a † .Алгебраический метод построения спектра гармонического осциллятора может бытьобобщен следующим образом. Пусть имеется оператор Шредингера Ĥ с дискретнымневырожденным спектром E n , n = 0, 1 . . .. Определим лестничные операторы:â | E n 〉 = √ E n − E 0 | E n−1 〉 , â † | E n 〉 = √ E n+1 − E 0 | E n+1 〉 ,с коммутационным соотношением:〈 m | [ â, â †] | n 〉 = (E n+1 − E n )δ mn .