"Квантовая теория", ч. 1.

40Решение. Решение задачи сводится к решению уравнения Шредингера (¯h = 1):i ∂ ψ∂ t = ĤψМатрица оператора Шредингера имеет вид⎛ ⎞Ĥ = ⎝ α β ⎠β αСобственные вектора и числа вычисляются стандартным образом, хотя они очевиднынепосредственно, в силу простой структуры матрицы:E 1 = α + β , | ψ 1 〉 = 1 √2(| 0 〉 + | 1 〉)E 2 = α − β , | ψ 2 〉 = 1 √2(| 0 〉 − | 1 〉)Эволюция состояния определяется его разложением по стационарным состояниямгамильтониана:| ψ(t) 〉 = exp(−i E 1 t) 〈 ψ 1 | ψ 0 〉 | ψ 1 〉 + exp(−i E 2 t) 〈 ψ 2 | ψ 0 〉 | ψ 2 〉Задача 4.2. Определите временную эволюцию дисперсий координат и импульса длясвободного волнового пакета. Определите их асимптотическое поведение (при t → 0+и t → ∞).Решение. Для свободного движения, наблюдаемая импульса является интеграломдвижения, поскольку гамильтониан есть:Ĥ =ˆp2 x2 m .Следовательно, для данной системы, среднее значение любой функции от импульса неменяется с течением времени. Поэтому:Для оператора координаты имеем:и〈 〉d 〉2 1 〈ˆpdt x =i ¯h [ˆp2 x, Ĥ] = 0 . (4.17)[ˆx, Ĥ] = 12 m [ˆx, ˆp2 ] = i ¯h m ˆpd 〈 〉 〈 〉ˆx2 1=dt i ¯h [ ˆx2 , Ĥ] = 1 m 〈 ˆx ˆp x + ˆp xˆx 〉 = 2 m 〈 ˆx ˆp x 〉 − i¯h m . (4.18)