97_knyha-1-177

10
§ 1. Повторення та систематизація навчального матеріалу
1.54. •• У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) відрізки CH, CL
і CM — відповідно висота, бісектриса та медіана трикутника.
Знайдіть відрізок CL, якщо CH = 6 см, CM = 10 см.
1.55. •• У трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Відомо, що
AB = 15 см, BC = 10 см. Доведіть, що BD < 12 см.
1.56. •• В опуклому чотирикутнику ABCD діагоналі перетинаються
в точці O. Відомо, що ∠BAC = ∠CBD, ∠BCA = ∠CDB. Доведіть,
що COæCA
= BOæBD.
1.57. •• Бісектриси кутів A і B трикутника ABC перетинають описане
коло трикутника ABC у точках K і L відповідно. Відрізки AK
і BL перетинаються в точці O так, що AO BO
= . Доведіть, що
OK OL
трикутник ABC рівнобедрений.
1.58. •• Трапеція ABCD ( AB CD)
така, що коло, описане навколо
трикутника ABD, дотикається до прямої BC. Доведіть, що коло,
описане навколо трикутника BCD, дотикається до прямої AD.
1.59. •• У трикутнику ABC проведено бісектрису BK. На сторонах
BA і BC позначили відповідно точки M і N такі, що
1
∠ AKM = ∠ CKN = ∠ABC.
2
Доведіть, що пряма AC — дотична до кола, описаного навколо
трикутника MBN.
1.60. •• У колі проведено хорду CD паралельно діаметру AB так,
що в трапецію ABCD можна вписати коло. Знайдіть хорду CD,
якщо AB = 2R.
1.61. •• На медіані AM трикутника ABC позначили точку F. Точки
K і N — основи перпендикулярів, опущених із точки F на
сторони AB і AC відповідно. Знайдіть відрізки FK і FN, якщо
FK + FN = d, AB = c, AC = b.
1.62. •• У трикутнику ABC проведено чевіани AA 1 , BB 1 , CC 1 , які перетинаються
в точці M. Відомо, що трикутники AMB 1 і AMC 1
рівновеликі, трикутники BMC 1 і BMA 1 рівновеликі, трикутники
CMA 1 і CMB 1 рівновеликі. Доведіть, що M — точка перетину
медіан трикутника ABC.
1.63. •• У трапеції ABCD ( AD BC, AD > BC)
на діагоналі AC позначили
точку E так, що BE || CD. Доведіть, що площі трикутників
ABC і DEC рівні.