97_knyha-1-177

22
§ 2. Розв’язування трикутників
Теорема 3.3. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює
сумі квадратів усіх його сторін.
Доведення. На рисунку 3.4 зображено паралелограм ABCD.
Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, ∠BAD = a, тоді ∠ADC = 180° – a.
Із трикутника ABD за теоремою косинусів отримуємо:
BD 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos a. (1)
Із трикутника ACD за теоремою косинусів отримуємо:
AC 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos (180° – a). Звідси
AC 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos a. (2)
Додавши рівності (1) і (2), отримаємо:
BD 2 + AC 2 = 2a 2 + 2b 2 .
B
a
B
b
a
C
A
M
C
A
b
D
D
Рис. 3.4 Рис. 3.5
Задача 1. Доведіть, що в трикутнику ABC (див. позначення
на форзаці):
2 2 2
2 2b + 2c − a
m a
=
,
4
2 2 2
2 2c + 2a − b
m b
=
,
4
2 2 2
2 2a + 2b − c
m c
=
.
4
Розв’язання. Нехай відрізок BM — медіана трикутника ABC.
На промені BM позначимо таку точку D, що BM = MD (рис. 3.5).
Тоді чотирикутник ABCD — паралелограм.
Використовуючи теорему 3.3, можна записати:
BD 2 + AC 2 = 2AB 2 + 2BC 2 або
2 2 2 2
4m + b = b
2c + 2a
.
2 2 2
2 2c + 2a − b
Звідси m b
=
.
4
Аналогічно можна довести дві інші формули.