97_knyha-1-177

46
§ 2. Розв’язування трикутників
6. Формули для знаходження площі
трикутника
Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що площу S трикутника
зі сторонами a, b і c та висотами h a , h b і h c можна обчислити за
формулами
1 1 1
S = aha = bhb = chc.
2 2 2
Тепер у нас з’явилася можливість отримати ще кілька формул
для знаходження площі трикутника.
Теорема 6.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку
двох його сторін і синуса кута між ними.
Доведення. Розглянемо трикутник АВС, площа якого дорівнює
S, такий, що ВС = а, АС = b і ∠C = g. Доведемо, що
S = 1 ab sin γ
2
Можливі три випадки:
1) кут g гострий (рис. 6.1);
2) кут g тупий (рис. 6.2);
3) кут g прямий.
B
B
A
b
D
γ
a
C
A
b
γ
C
a
180° – γ
D
Рис. 6.1 Рис. 6.2
На рисунках 6.1 і 6.2 проведемо висоту BD трикутника ABC.
1
1
Тоді S = BDæAC = BDæ b.
2
2
Із прямокутного трикутника BDC у першому випадку (див.
рис. 6.1) отримуємо: BD = a sin g, а в другому (див. рис. 6.2):
BD = a sin (180° – g) = a sin g. Звідси для двох перших випадків
маємо: S
= 1 ab sin γ.
2