97_knyha-1-177

24
§ 2. Розв’язування трикутників
Задача 4. Відомо, що довжина найбільшої сторони трикутника
дорівнює 3 см. Доведіть, що три круги із центрами у вершинах
трикутника та радіусами 1 повністю покривають трикутник.
Р о з в ’ я з а н н я. Очевидно, що ці круги покривають сторони
трикутника.
Нехай усередині трикутника ABC знайшлася точка O, не покрита
жодним із кругів. Очевидно, що один із кутів AOB, BOC, COA не
менший від 120°.
Нехай, наприклад, це кут AOC. Тоді cos ∠AOC m −
1 . Із трикутника
AOC за теоремою косинусів AC = OA + OC − 2OAæ
OC
2
2 2 2
×
× cos ∠AOC . З урахуванням нерівності cos ∠AOC m −
1 2 отримуємо:
2 2 2
AC l OA + OC + OAæOC.
Оскільки точка О не покрита кругами із центрами А і C, то
OA > 1 см і OC > 1 см. Тоді OA 2 + OC 2 + OAæOC > 3 см. Звідси
AC > 3 см, що суперечить умові задачі. Отже, точок трикутника,
не покритих жодним з указаних кругів, не існує.
Задача 5. Додатні числа a, b, c є такими, що c 2 = a 2 + b 2 – ab.
Доведіть, що ( a − c) ( b − c) m0.
O
? 1.
a
60°
A
b
M
B
Рис. 3.8
N
Розв’язання. Побудуємо кут MON,
який дорівнює 60°. На його сторонах
OM і ON позначимо відповідно точки
A і B так, що OA = a, OB = b (рис. 3.8).
За теоремою косинусів AB 2 = a 2 + b 2 –
– ab. Отже, AB = c.
У трикутнику OAB один із кутів A
або B не менший від 60°, а другий не
більший за 60°. Отже, у трикутнику
OAB сторона c не менша від однієї
з двох інших сторін і не більша за
другу. Звідси ( a − c) ( b − c) m0 .
Сформулюйте теорему косинусів.
2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами a,
b і c, де a — довжина його найбільшої сторони, якщо:
1) a 2 < b 2 + c 2 ; 2) a 2 > b 2 + c 2 ; 3) a 2 = b 2 + c 2 ?
3. Як пов’язані між собою діагоналі та сторони паралелограма?