97_knyha-1-177

32
§ 2. Розв’язування трикутників
Із трикутника MBD отримуємо: BD =
2 2
BM + MD =
2 2
8 + 15 =
= 17 (см).
Коло, описане навколо трапеції ABCD, є також описаним колом
трикутника ABD. Позначивши шуканий радіус R, маємо:
BD 17 85
BD = 2Ræsin A. Звідси R = = =
2 A
2 4 (см).
sin
8
æ
5
Відповідь: 85
8 см.
З а д а ч а 4 . На найбільшій стороні AC трикутника ABC позначили
точку X, відмінну від вершин A і C. Із точки X опущено
перпендикуляри XM і XN на прямі AB і BC відповідно. Знайдіть
таке положення точки X, при якому довжина відрізка MN буде
найменшою.
Розв’язання. На рисунку 4.4 показано випадок, коли точки M
і N лежать на сторонах трикутника, а на рисунку 4.5 — випадок,
коли тільки одна точка, наприклад точка M, лежить на стороні
трикутника.
B
N
B
M
N
M
A
X
C
A
X
C
Рис. 4.4 Рис. 4.5
Легко показати, що точки M, B, N, X лежать на одному колі
з діа метром BX. Відрізок MN — хорда цього кола, на яку спирається
кут MBN (рис. 4.4) або кут, суміжний із кутом MBN (рис. 4.5).
Для кожного із цих випадків можна записати: MN = BXæsin∠MBN.
Отже, довжина відрізка MN набуває найменшого значення, якщо
набуває найменшого значення довжина відрізка BX. А ця умова
виконується тоді, коли точка X є основою висоти трикутника ABC,
проведеної з вершини B.