97_knyha-1-177

30
§ 2. Розв’язування трикутників
Доведення. На рисунку 4.1 відрізок MN — хорда кола із центром
у точці O. Проведемо діаметр MP. Тоді ∠MNP = 90° як вписаний
кут, що спирається на діаметр.
Нехай величина вписаного кута MPN
дорівнює a. Тоді з прямокутного трикутника
MPN отримуємо:
P
MN = MP sin a. (1)
O
α
Усі вписані кути, які спираються на
α
хорду MN, дорівнюють a або 180° – a.
Отже, їхні синуси рівні. Тому отримана
рівність (1) справедлива для всіх
M
N
180° α
вписаних кутів, які спираються на
хорду MN.
Тепер доведемо теорему синусів.
Рис. 4.1
Доведення. Нехай у трикутнику
ABC відомо, що AB = c, BC = a, CA = b.
Доведемо, що
a b c
sin A
= sin B
= sin C
.
Нехай радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює R.
Тоді з доведеної леми випливає, що a = 2R sin A, b = 2R sin B,
c = 2R sin C. Звідси
a b c
= = = 2 R
sin A sin B sin C
Н а с л і д о к. Радіус кола, описаного навколо трикутника,
можна обчислити за формулою
a
R =
2 sin α
,
де a — довжина сторони трикутника, a — величина протилежного
цій стороні кута.
Задача 1. У трикутнику ABC відомо, що AC =
∠A = 30°. Знайдіть кут B.
Розв’язання. За теоремою синусів
Тоді sin B = AC sin A = 2 .
BC 2
BC AC
sin A
= sin B
.
2 см, BC = 1 см,