Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
36<br />
§ 2. Розв’язування трикутників<br />
4.31. •• На стороні AB трикутника ABC позначили точки M і N. Відомо,<br />
що радіуси описаних кіл трикутників ANC і BMC рівні.<br />
Крім того, радіуси описаних кіл трикутників AMC і BNC також<br />
рівні. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.<br />
4.32. •• У колі проведено три хорди: MN = 1 см, MP = 6 см, MQ = 2 см.<br />
Відомо, що ∠NMP = ∠PMQ. Знайдіть радіус кола.<br />
4.33. •• Із точки M, що належить куту, на його сторони AB і AC<br />
опустили перпендикуляри, які дорівнюють 7 см і 2 7 см.<br />
Знайдіть відрізок MA, якщо ∠A = 60°.<br />
4.34. •• Дано дві прямі, які перетинаються та кут між якими дорівнює<br />
a. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що відстань<br />
між основами перпендикулярів, опущених із точки X на дані<br />
прямі, дорівнює a.<br />
4.35. •• Із точки M кола на його діаметри AB і CD опустили перпендикуляри.<br />
Доведіть, що відстань між основами перпендикулярів<br />
не залежить від вибору точки M.<br />
4.36. •• Навколо трикутника ABC описано коло. З довільної точки M<br />
кола опущено перпендикуляри MN і MK на прямі AB і AC відповідно.<br />
Для якої точки M довжина відрізка NK буде найбільшою?<br />
4.37. •• Бісектриси трикутника ABC перетинаються в точці O. Пряма<br />
AO вдруге перетинає описане коло трикутника BOC у точці<br />
M. Знайдіть відрізок OM, якщо BC = 3 см, ∠BAC = 120°.<br />
4.38. •• Точка J — центр вписаного кола трикутника ABC. Пряма AJ<br />
вдруге перетинає описане коло трикутника ABC у точці D. Знайдіть<br />
відрізок DJ, якщо BC = 6 см, а радіус описаного кола дорівнює<br />
2 3 см.<br />
4.39. •• У трикутнику ABC на стороні AB існує така точка D, що<br />
AD AB<br />
= . Доведіть, що кут C тупий.<br />
DC BC<br />
4.40. •• На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E. Точки O 1<br />
і O 2 — центри описаних кіл трикутників ABE і ADE відповідно.<br />
Доведіть, що чотирикутник AO 1 EO 2 — квадрат.<br />
4.41. * Діагоналі вписаного чотирикутника ABCD перетинаються<br />
в точці K. Відомо, що AB = a, CD = b, ∠BKA = a. Знайдіть радіус<br />
кола, описаного навколо даного чотирикутника.<br />
4.42. * У коло вписано чотирикутник ABCD (рис. 4.10). Прямі AB<br />
і CD перетинаються в точці M, а прямі BC і AD — у точці N.<br />
Відомо, що BM = DN. Доведіть, що CM = CN.
Change language