97_knyha-1-177

28
§ 2. Розв’язування трикутників
3.41. • Доведіть, що в трикутнику ABC виконується рівність
m 2 a
+ m 2 b
+ m
2
c
3
= .
2 2 2
a + b + c 4
3.42. • Доведіть, що коли в трикутнику ABC виконується рівність
2 2 2
m + m = 5m
, то цей трикутник прямокутний.
a b c
3.43. • Доведіть, що коли в трикутнику ABC виконується рівність
a 2 + b 2 = 5c 2 , то медіани, проведені з вершин A і B, перпендикулярні.
3.44. •• Доведіть, що сума квадратів медіан трикутника не менша
від квадрата його півпериметра.
3.45. •• Дано два кола, які мають спільний центр (такі кола називають
концентричними). Доведіть, що сума квадратів відстаней від
точки одного з кіл до кінців діаметра другого кола не залежить
ні від вибраної точки, ні від вибраного діаметра.
3.46. •• Доведіть, що сума квадратів діагоналей чотирикутника у два
рази більша за суму квадратів відрізків, які сполучають середини
його протилежних сторін.
3.47. •• В опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають середини
протилежних сторін, дорівнюють m і n, кут між ними
дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі чотирикутника.
3.48. •• Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють a і b, кут між
ними дорівнює 45°. Знайдіть відрізки, які сполучають середини
протилежних сторін чотирикутника.
3.49. •• Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 5 см,
а її бічні сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань між
серединами основ.
3.50. •• У трапеції ABCD відомо, що AD BC, AB = 5 см, BC = 9 см,
AD = 16 см, cos A = 1 .
7
Знайдіть сторону CD трапеції.
3.51. •• У трапеції ABCD відомо, що AD BC, AB = 15 см,
BC = 6 см, СD = 4 см, AD = 11 см. Знайдіть косинус кута D трапеції.
3.52. •• У трапеції ABCD відомо, що AD BC, BC = 1 см, AD = 6 см,
AC = 3 см, BD = 5 см. Знайдіть кут AOD, де O — точка перетину
діагоналей трапеції.
3.53. •• У трикутнику ABC проведено висоти AA 1 і CC 1 . Відомо, що
1
A1C1
: AC = , AB = c, BC = a. Знайдіть сторону AC.
2