97_knyha-1-177

38
§ 2. Розв’язування трикутників
Тоді необхідну і достатню умову конкурентності чевіан AA 1 , BB 1
і CC 1 можна виразити такою рівністю:
sin ∠1æ
sin ∠3æsin
∠5
.
sin ∠2 sin ∠4 sin ∠ 6
= 1
æ æ
A
F
3
4
B
Звідси
6
5
C
Задача. Шестикутник ABCDEF
вписано в коло. Доведіть, що діагоналі
AD, BE і CF перетинаються
в одній точці тоді й тільки тоді, коли
AB . CD . EF = BC . DE . FA.
Розв’язання. Розглянемо трикутник
ACE. Введемо позначення кутів
D
так, як показано на рисунку 4.12.
1 2 Нехай радіус кола дорівнює R. Тоді:
AB = 2R sin ∠1;
E
BC = 2R sin ∠2;
CD = 2R sin ∠3;
Рис. 4.12
DE = 2R sin ∠4;
EF = 2R sin ∠5;
FA = 2R sin ∠6.
sin ∠1æ
sin ∠3æsin
∠5
.
sin ∠2æsin ∠4æsin
∠ 6
= ABæCDæEF
BCæDEæFA
Діагоналі AD, BE і CF є конкурентними тоді й тільки тоді,
коли ліва частина записаної рівності дорівнює 1. Звідси випливає
справедливість твердження, що доводиться.
Вправи
1. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно
точки C 1 , A 1 і B 1 так, що прямі AA 1 , BB 1 і CC 1 конкурентні.
Доведіть, що прямі AA 2 , BB 2 і CC 2 , симетричні прямим AA 1 ,
BB 1 і CC 1 відносно бісектрис кутів A, B і C відповідно, також
конкурентні.
2. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначили відповідно
точки C 1 , A 1 і B 1 так, що прямі AA 1 , BB 1 і CC 1 конкурентні
(рис. 4.13). На сторонах A 1 B 1 , B 1 C 1 і C 1 A 1 трикутника A 1 B 1 C 1 позначили
відповідно точки C 2 , A 2 і B 2 так, що прямі A 1 A 2 , B 1 B 2 і C 1 C 2
конкурентні. Доведіть, що прямі AA 2 , BB 2 і CC 2 також конкурентні.
Вказівка. Доведіть, що sin α1
1 1 2
= AB æ C A .
sin α A B æAC
2
2 1 1