97_knyha-1-177

40
§ 2. Розв’язування трикутників
5. Розв’язування трикутників
Розв’язати трикутник означає знайти невідомі його сторони та
кути за відомими сторонами та кутами 1 .
У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники.
Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який
трикутник.
У наступних задачах значення тригонометричних функцій
будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці
значення до сотих. Величини кутів будемо знаходити за допомогою
калькулятора й округлювати ці значення до одиниць. Обчислюючи
довжини сторін, результат будемо округлювати до десятих.
З а д а ч а 1. Розв’яжіть трикутник (рис. 5.1) за стороною
a = 12 см і двома кутами b = 36°, g = 119°.
Р о з в ’ я з а н н я. Використовуючи теорему
про суму кутів трикутника, отримуємо:
b
γ
a
a = 180° – (b + g) = 180° – 155° = 25°.
α β
b a
c
За теоремою синусів =
sin β sin α
.
Рис. 5.1
a
Звідси b = sin β
.
sin α
12 sin 36°
12æ0,
59
Маємо: b = ≈ ≈ 16,
9 (см).
sin 25°
0,
42
c a
Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо: =
sin γ sin α
.
a
Звідси c = sin γ
.
sin α
12 sin 119°
12 sin 61°
12æ0,
87
Маємо: c = = ≈ ≈ 24,
9 (см).
sin 25°
sin 25°
0,
42
Відповідь: b ≈ 16,9 см, c ≈ 24,9 см, a = 25°.
Задача 2. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами a = 14 см,
b = 8 см і кутом g = 38° між ними.
Розв’язання. За теоремою косинусів c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos g.
Звідси c 2 = 196 + 64 − 2æ14 æ8 cos 38° ≈ 260 − 224æ0, 79 = 83, 04;
c ≈ 9,1 см.
1
У задачах цього пункту та вправах 5.1–5.9 прийнято позначення:
a, b і c — довжини сторін трикутника, a, b і g — величини кутів, протилежних
відповідно сторонам з довжинами a, b і c.