97_knyha-1-177

14
§ 2. Розв’язування трикутників
Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого
кута a виконуються рівності:
sin (90° – a) = cos a,
cos (90° – a) = sin a
Ці формули залишаються справедливими також для a = 0° і для
a = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).
Нехай кутам a і 180° – a, де a ≠ 0°, a ≠ 90° і a ≠ 180°, відповідають
точки M (x 1 ; y 1 ) і N (x 2 ; y 2 ) одиничного півкола (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Прямокутні трикутники OMM 1 і ONN 1 рівні за гіпотенузою та
гострим кутом (OM = ON = 1, ∠MOM 1 = ∠NON 1 = a). Звідси y 2 = y 1
і x 2 = –x 1 . Отже,
sin (180° – a) = sin a,
cos (180° – a) = –cos a
Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються правильними
для a = 0°, a = 90°, a = 180°.
Якщо a — гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу,
є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною
тотожністю:
sin 2 a + cos 2 a = 1
Ця рівність залишається правильною для a = 0°, a = 90°,
a = 180° (переконайтеся в цьому самостійно).
Нехай a — тупий кут. Тоді кут 180° – a є гострим. Маємо:
sin 2 a + cos 2 a = (sin (180° – a)) 2 + (–cos (180° – a)) 2 =
= sin 2 (180° – a) + cos 2 (180° – a) = 1.
Отже, рівність sin 2 a + cos 2 a = 1 виконується для всіх 0° m α m180°
.
Для того щоб порівнювати значення sin a і sin b, а також cos a
і cos b, скористаємося такими наочно зрозумілими міркуваннями: