Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

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Capítulo 1 Sistemas mecánicos El universo no puede ser leído hasta que no hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuyo medio es 1.1 Introducción humanamente imposible comprender una sola palabra. Galileo A continuación, daremos una breve introducción a la mecánica geométrica, a fin de fijar conceptos y notación. El objetivo de esta introducción es intentar mostrar que, del vasto lenguaje matemático al que Galileo hace referencia, la mecánica se expresa en un dialecto particular: el de la geometría diferencial. El lector interesado puede referirse a [1, 3, 16]; o a [11] en relación a la mecánica en general. Un sistema mecánico puede modelarse como un sistema de i = 1...N partículas newtonianas puntuales que interactúan entre sí y con otros sistemas externos. Como es bien sabido, los cuerpos extendidos pueden ser modelados como un límite (en el que el número de partículas se hace infinito apropiadamente) de dichos sistemas. Este hecho otorga una generalidad notablemente grande a las consideraciones siguientes. Desde un sistema de referencia inercial 1 , la dinámica de una partícula etiquetada por i queda descripta por la segunda ley de Newton: T ot mi¨ri(t) = Fi 1 (1.1) 1 Es decir, desde un sistema en el que las leyes de Newton son válidas. Otro sistema que se mueve a velocidad constante con respecto a éste será también inercial
en donde mi denota la masa de la partícula, ri(t) ∈ R 3 la posicición de la misma a tiempo t, cada punto · indica una derivada temporal y F T ot i ∈ R3 la fuerza (total) que está actuando sobre la partícula. Una parte (un sumando) de esta fuerza total está dada por la fuerza Fij que hace otra partícula j sobre la i. Newton observó que esta descripción queda completa al introducir el principio de acción-reacción: la partícula j sufre una fuerza de igual magnitud Fji que es causada por la partícula i. Estas fuerzas son llamadas internas al sistema. Por otro lado, al considerar separadamente del resto del universo al sistema bajo estudio, éste puede interactuar con otros que se encuentran en su entorno. Esta interacción se tiene en cuenta al escribir en donde F Ext i T ot Fi = F Ext i + j=i denota la fuerza resultante de todas las interacciones externas al sistema que sufre la partícula i. Por lo tanto, para inferir la evolución del sistema, es decir, para encontrar todas las aplicaciones ri(t) que describen las posiciones como funciones del tiempo t, debemos resolver el sistema de 3N ecuaciones (escalares, diferenciales, de segundo orden, acopladas) dado por las expresiones (1.1) para todos los índices i = 1...N. Dado que los ri(t) representan 3N incógnitas, es claro que, para que el problema quede bien planteado, debemos contar con un modelo mecánico2 de las fuerzas F T ot i actúan sobre el sistema. Observación 1.1.1. (Espacio de configuraciones) Una configuración de nuestro sistema de N partículas queda descripta por un punto (ri) del espacio R 3N . Luego, la evolución temporal del sistema corresponde a una curva c(t) ≡ (r1(t), r2(t), r3(t), ...) en este espacio de configuraciones R 3N . 1.1.1 Vínculos holónomos y el principio de D’Alambert Muchas veces, encontrar un modelo mecánico para todas las fuerzas que actúan sobre un sistema dado puede resultar complicado. Es más, a veces dicho modelo puede darse a posteriori, es decir, una vez conocidas las características de la evolución del sistema. Sin embargo, muchos sistemas admiten un planteo simple que prescinde de tales modelos funcionales explícitos. De entre los sistemas que presentan esta característica, 2 Es decir, expresiones funcionales para los vectores fuerzas en términos de las magnitudes mecánicas del problema. Fij 2 que
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