Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

para todo t. Luego, L( d
dt d0) = 0 y el tensor de inercia I(d0) = I es constante. En este
caso, las soluciones periódicas de las ecuaciones de Euler describen discos en la esfera, con
lo cual, ˜ D define el ángulo sólido usual y nuestra fórmula se restringe a la conocida fórmula
derivada por R. Montgomery en [19].
2.4 Algunas aplicaciones
2.4.1 Soluciones en la esfera
Describiremos, en esta sección, algunas de las herrmientas que pueden usarse para
estudiar la geometría de las soluciones de la ecuación (2.9) en la esfera S2 Π . Al hacer foco
sobre algunos casos particulares, seremos capaces de aplicar esta caracterización geométrica
de las soluciones a la obtención de resultados analíticos sobre el movimiento de cuerpos auto-
deformantes por medio de la correspondiente fórmula de fase tipo Montgomery generalizada
para θM.
• Reconstrucción de R(t): Cuando, en un dado intervalo de tiempo [tA,tB], la
solución Π(t) define un camino abierto, de acuerdo a lo anteriormente observado,
la rotación R(t) puede expresarse de la siguiente manera
exp(θ(t) ˆ L
L ) · (R0(t), R −1
0 (t)L),
con (R0(t), R −1
0 (t)L) denotando el levantamiento horizontal del camino base Π(t)
con respecto a la conexión (2.11) y θ(t) una solución de la ec. (2.12). Por otro
lado, cuando el camino base Π(t) es cerrado y simple para [tA,tB], tenemos una fase
unívocamente definida determinada por la fórmula (2.13). Luego, dada una solución
en [t1,t2], podemos hallar la fase total sumando las fases intermedias que corresponden
a sub-intervalos temporales [ti,ti+1] para los cuales la solución es un arco abierto sim-
ple o bien, una curva cerrada simple en S2 Π . En el primer caso, la fase está definida
por
R(ti+1) = exp(θ(ti+1) ˆ L
)P ar(R(ti))
L
con P ar : π −1 (Π(ti)) −→ π −1 (Π(ti+1)) denotando el transporte paralelo (ver [15])
en el fibrado U(1)−principal J −1 (L)
35
π
−→ S 2 Π de la condición inicial R(ti) y θ(t) la
correspondiente solución de (2.12) con θ(ti) = 0. En el segundo caso, una vez fijado el