Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

A partir del descubrimiento teórico de Sir M. Berry, publicado en [4], el concepto
de fase geométrica fue utilizado en numerosas áreas de la física, tanto cuántica como clásica.
Inicialmente, Berry contempló el caso en el que un sistema cuántico depende 7 de parámetros
externos que varían adiabáticamente con el tiempo y que, al transcurrir un tiempo T ,
retornan a su configuración inicial. Suponiendo que el estado inicial del sistema era un
autoestado de una dada autoenergía a tiempo t = 0, y que los niveles de energía de este
sistema cuántico se mantienen no-degenerados durante la evolución paramétrica, entonces
el estado a tiempo T coincide con el inicial a menos de un factor de fase e iθ . Berry demostró
que este ángulo o fase θ se puede escribir como suma de dos, uno de naturaleza dinámica
involucrando la integral de la energía correspondiente, y otro que depende de la geometría
de la curva que describen los parámetros al variar y no de la velocidad con la que ésta
es recorrida. Como discutiremos en el capítulo 4, esta segunda contribución, llamada fase
de Berry, puede ser descripta como una holonomía en un fibrado U(1)−principal sobre el
espacio de parámetros.
Las fases de Berry cuánticas han sido detectadas experimentalmente y hacen su
aparición en diversos sistemas físicos ([25]). Su naturaleza geométrica las convierte en obje-
tos singularmente interesantes para el estudio teórico y para la descripción de los fenómenos
naturales asociados. Siguiendo los resultados de Berry, Hannay encontró un efecto análogo
pero en el contexto de sistemas mecánico-clásicos integrables. De hecho, el rol de las fases
geométricas en sistemas mecánicos (clásicos) ha sido extensamente investigado, llevando a
que: ”Muchos problemas familiares que no son usualmente asociados a las fases geométricas
admiten una descripción en términos de éstas. Por lo general, el resultado es un claro en-
tendimiento de la estructura del problema y una expresión elegante de su solución” ([15, 25]).
Por otro lado, la naturaleza geométrica de las fases asociadas a sistemas mecánicos las
vuelve, también, un instrumento interesante dentro de la teoría de control (véase, por ejem-
plo, [20]).
Observación 1.4.1. (Esencia del concepto de fases geométricas) De la situación estu-
diada inicialmente por Berry, se abstrajo el siguiente esquema definiendo la idea de fase
geométrica: de un cierto conjunto de magnitudes sujeto a una ley de evolución dada, un
subconjunto varía de manera conocida describiendo una curva en un dado espacio de val-
ores posibles que, eventualmente, se cierra retornando a una dada configuración inicial;
7 Es decir, interactúa con otro sistema externo cuya evolución es conocida o controlada.
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