Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

Llamemos Q al espacio de configuraciones, vistas desde un sistema de referencia
con origen en el centro de masa, de un sistema de N−partículas o de un cuerpo extendido.
En consecuencia, o bien Q = R3N−3 , o bien Q es una subvariedad dentro del conjunto
de embeddings q : B ⊂ R3 −→ R3 cuyo centro de masa MrCM =
dm(x) q(x) = 0
se encuentra en el orígen coordenado. En la expresión anterior, B denota una forma de
referencia para el cuerpo extendido, dm(x), x ∈ B la correspondiente densidad de masa y
M =
B dm(x) la masa total. En ambos casos, la acción usual de SO(3) sobre R3 da origen
a una acción natural de SO(3) sobre Q. Dicha acción resulta ser libre sobre
Q0 = Q − Q1D,
siendo Q1D el conjunto de puntos de Q que representan configuraciones en las cuales todas
las partículas del sistema, o bien, todo el cuerpo extendido, están contenidos en una recta.
Por ende,
Q0 π → Q0/SO(3)
define un fibrado SO(3)−principal cuya base B = Q0/SO(3) es llamada, usualmente, espa-
cio de formas.
En ambos casos, el de un sistema de partículas y el de un cuerpo extendido,
la variedad Q0 (asi como Q) posee una estructura Riemanniana que es inducida por el
producto escalar usual en R 3 . Entonces, existe una conexión principal natural en el fibrado
Q0 π → Q0/SO(3), que queda definida al elegir, como subespacios horizontales del tangente,
los complementos ortogonales de los subespacios verticales con respecto a esta métrica.
Usualmente, dicha conexión en Q0 π → Q0/SO(3) es llamada conexión mecánica.
Notación: De aquí en más,
• S denotará un sistema de referencia inercial dado,
• CM(t) denotrará un sistema de referencia con orígen en el centro de masa rCM(t)
del cuerpo a cada t y con ejes constantemente paralelos a los de S,
• mediante CM(t) denotaremos cualquier sistema de referencia con orígen en el
centro de masa y cuyos ejes estén (posiblemente) rotando con respecto a los de
CM(t).
Observación 2.2.1. (Sistemas de referencia) Podemos pensar que un punto q0 ∈ Q0 sobre
la forma (abstracta) π(q0) = b0 ∈ Q0/SO(3) representa la configuración de un cuerpo con
B
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