Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

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Esta función representa la aplicación momento (o momentum map) correspondiente
a la simetría SO(3) en T Q0 (los detalles se encuentran en [15], [20]).
• Energía cinética: T : T Q0 → R, T ({ri, ˙ri}) =
T ( d
1
(R(t)d(t))) =
dt 2 ωR(t)
B
· I(d(t))ωR(t) B
mi ˙r
i
2 i
d
+ L( (d(t))) · ωR(t)
B
dt
, para la cual
25
d
+ T ( (d(t))). (2.4)
dt
Utilizando estas definiciones, para la curva física c(t) en Q0, la siguiente cantidad
es la que debe conservarse:
LCM = L( d d
R(t)
c(t)) = L( (R(t)d(t))) = R(t) I(d0(t))ωB dt dt
d
+ R(t) L(
dt (d0(t))).
Aquí I(d0(t)) se interpreta como el tensor de inercia medido desde el sistema de referencia
˜S(t) = CM(t) y llamaremos a
Lo(t) := L( d
dt (d0(t))) =
mirio(t) × •
rio(t)
momento angular interno (o aparente [24]), dado que es el que se ”vería” desde el sistema
(no inercial) CM(t).
i
Las ecuaciones de movimiento (de segundo orden y no-autónomas) para R(t) son
d
dt L(R(t)d0(t)) = 0 (2.5)
I(d0(t)) · ωB = I(d0(t))ωB × ωB + Lo(t) × ωB − d
dt (I(d0(t))) ωB − d
dt Lo(t)
cuando las expresamos en términos de la velocidad angular referida al cuerpo ωB.
anteriores, son
Las ecuaciones de reconstrucción para R(t), en base a una solución ωB de las
·
R = R ˆωB
(2.6)
donde ˆωB = Ψ −1 (ωB). El valor inicial R(t1) debe ser tal que R(t1)d0(t1) = c(t1) coincida
con la configuración inicial del cuerpo bajo estudio.
Ejemplo 2.2.7. (Cuerpo Rígido) Para un cuerpo rígido, recordemos que d0(t) debe estar
contenido enteramente en la fibra que está sobre un punto dado del espacio de formas.
Podemos, entonces, elegir que d0(t) (equiv. rio(t)) sea constantemente un punto en dicha