Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

en el cual: so ∗ −(3) denota la variedad de Poisson so ∗ (3) munida de (menos) su corchete
de Poisson natural; π y J son mapeos Poisson y anti-Poisson, respectivamente, y Ad t R −1
denota la acción coadjunta (por derecha) 2 de SO(3) sobre so ∗ (3) definida por Ad t R ξ, X =
〈ξ, AdRX〉 para ξ ∈ so ∗ (3), X ∈ so(3). Como es bien sabido, el diagrama anterior define
un par dual ([27]) de variedades de Poisson en el que J es la aplicación momento asociada
a la acción simpléctica inducida por la multiplicación a izquierda de SO(3) sobre T ∗ SO(3).
La trivialización T ∗ SO(3) Left
SO(3) × so ∗ (3) por medio de traslaciones por izquierda se
conoce como el paso a las coordenadas del cuerpo.
Si fijamos un elemento L ∈ so ∗ −(3) so(3) R 3 (los isomorfismos a nivel de
variedades de Poisson), entonces
por ende,
Ψ(Ad t R −1ξ) = R Ψ(ξ)
π(J −1 (L)) = S 2 Π .
La esfera S 2 Π de radio L define una hoja simpléctica dentro de so∗ −(3) so(3)
R 3 ([16]). Más aún, en este caso, se cumple que
define un fibrado U(1)−principal ([15]).
J −1 (L) = {(R, Π); R · Π = L} SO(3) π
−→ S 2 Π
(R, R −1 L) ↦−→ R −1 L
Ahora, consideremos la inclusión J −1 (L)
siguiente 1−forma sobre J −1 (L) con valores en u(1)
A := 1
L i∗ Θ L
31
i
↩→ SO(3) × so∗ (3) Left
T ∗SO(3) y la
(2.11)
siendo Θ L la 1−forma canónica invariante por izquierda sobre T ∗ SO(3) en coordenadas
del cuerpo. Puede verse que A define una conexión principal en el fibrado U(1)−principal
J −1 (L) π
−→ S2 Π ([15]). Esta forma de conexión satisface
dA = − 1
L i∗ ω L
en donde ω L = −dΘ L denota la 2−forma simpléctica canónica en T ∗ SO(3) en coordenadas
del cuerpo. El teorema de reducción ([18], y también [16]), implica que
i ∗ ω L = π ∗ ωµ
2 La acción coadjunta (por izquierda) Ad ∗ se define como Ad ∗ R = Ad t
R −1.