Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

sante o útil al estudio del sistema físico subyacente. Lo que vuelve relevante a una fórmula
de fases no es sólo el hecho de que la fase geométrica no dependa de la velocidad con que
la curva paramétrica sea recorrida sino, también, que la conexión encontrada sea tal que
la fase dinámica correspondiente admita una expresión simple y cerrada en términos de
(algunas de) las magnitudes físicas asociadas al sistema, tales como la energía y/o tiempos
característicos. El ejemplo siguiente 1.4.3 ilustra claramente esta observación.
En los sistemas mecánicos que consideraremos en los capítulos 2 y 3, las fórmulas
de fases de reconstrucción resultan relevantes al estudio de la dinámica de dichos sistemas
al establecer relaciones analíticas entre la configuración total (la fase total) de éstos a
ciertos tiempos dinámicamente definidos y la geometría de curvas soluciones intermedias y
más simples (la fase geométrica) y la integral temporal de la energía cinética y/o de otras
magnitudes cinemáticas del sistema (la fase dinámica).
Ejemplo 1.4.3. (Fase del cuerpo rígido [19]) Como es sabido ([11, 1, 3]), un cuerpo rígido
libre rota alrededor de su centro de masa de manera que su momento angular (espacial) J ∈
R 3 se mantiene constante. Si R(t) es la rotación que lleva al cuerpo desde su configuración
inicial a la correspondiente al tiempo t, definiendo el momento angular relativo al cuerpo
como Π(t) = R −1 (t)J, entonces la conservación del momento espacial se traduce en las
ecuaciones de Euler para Π(t). Las correspondientes soluciones son, típicamente, periódicas
y describen curvas cerradas en una esfera en R 3 . Una vez conocida esta solución Π(t) para
el momento angular referido al cuerpo, la rotación R(t) que describe la evolución espacial
del cuerpo puede ser reconstruida ([15]) a partir de ésta. Los detalles de este proceso
de reconstrucción pueden encontrarse en el capítulo 2. A continuación, identificamos los
elementos inherentes a la presencia de fases geométricas mencionados más arriba dentro de
este ejemplo en particular.
Cuando la curva Π(t) completa un período (la curva base cerrada y conocida),
transcurrido un tiempo T , la definición misma de Π en términos del momento conservado
nos dice que la posición del cuerpo rígido (el total de las variables del sistema) debe ser la
inicial a menos de una rotación alrededor de la dirección del momento constante (la fase
total ∆g ∈ G = U(1)). En [19], Montgomery deriva la siguiente fórmula de fases para el
ángulo θ de dicha rotación o fase del cuerpo rígido
θ = −Ω + 2ET
J ,
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