Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

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Puede verse que, en un sistema coordenado local, las ecuaciones diferenciales para c(t) en Q que se deducen del principio variacional anterior son las Ecuaciones de Euler Lagrange: en cualquier sistema de coordenadas (q i , v i ), d ∂L ∂L (c(t), ˙c(t)) = (c(t), ˙c(t)), i = 1, ..., n. (1.3) dt ∂vi ∂qi Una vez fijado el sistema de coordenadas, estas ecuaciones equivalen a las ecuaciones proyec- tadas (1.2). Sin embargo, al ser geométrica, esta formulación permite trabajar con los dimQ grados de libertad de manera covariante con respecto a dichos sistemas coordenados. 1.2.1 Geometría simpléctica A continuación, daremos la versión hamiltoniana de las ecuaciones anteriores. El paso de (1.3) a su análogo hamiltoniano equivale al procedimiento usual de añadir n nuevas variables (los momentos conjugados) a fin de transformar un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden (con derivadas temporales en las velocidades) en otro de primer orden. En este caso, es importante el hecho de que el procedimiento resulta compatible con la geometría global de la formulación. Notación: Si M es una variedad diferencial, denotaremos con X (M) al espacio de campos vectoriales sobre M. Recordemos que una forma simpléctica sobre una variedad M es una 2-forma diferencial ω tal que: • es cerrada • y no-degenerada dω = 0, ∀x ∈ M, ∀v ∈ TxM, v = 0 ⇒ ∃u ∈ TxM ω(u, v) = 0. Una variedad simpléctica es un par (M, ω), con M una variedad diferencial y ω una forma simpléctica sobre M. Es fácil ver que la condición de no-degeneración de ω implica que dimM es par. 7
Ejemplo 1.2.2. ( El cotangente) Un importante ejemplo de una variedad simpléctica está dado por el fibrado cotangente T ∗ Q, de cualquier variedad Q, munido de su forma simpléctica canónica. Recordemos que el fibrado cotangente a Q es el fibrado vectorial cuyas fibras son T ∗ q Q, los espacios duales a TqQ. Si (q i ) son las coordenadas de q ∈ U y α = pidq i ∈ T ∗ q Q, con (dq i ) la base dual de ( ∂ ∂q i ), a (q, α) ∈ T ∗ U Q se le asignan coordenadas (qi , pi). La forma simpléctica canónica ωc sobre T ∗ Q es la 2-forma diferencial que, en cualquier sistema de coordenadas (q i , pi), se escribe ωc(q i , pi) := dq i ∧ dpi. Es fácil ver que esta expresión local es invariante ante cambios de coordenadas. Una manera sencilla de probarlo es escribir y mostrar que la expresión pidq i lo es. ωc(q i , pi) = −d(pidq i ) (1.4) Dado un lagrangiano L : T Q → R, la transformada de Legendre asociada a él es la función F L : T Q → T ∗ Q definida como La 2−forma F L(q, v) := (q, ∂L ). (1.5) ∂v ωL := F L ∗ (ωc) (1.6) es llamada 2-forma lagrangiana asociada a L. De (1.4) y (1.5) se deduce que su expresión local es ωL(q i , v i ) = − ∂2 L ∂q i ∂v j dqi ∧ dq j + ∂2 L ∂v i ∂v j dqi ∧ dv j . (1.7) El lagrangiano L se dice regular si la forma ωL es simpléctica en T Q. La ecuación (1.7) muestra que L es regular si y sólo si, ∀(q.v) ∈ T Q, det ∂ 2 L ∂v i ∂v j (q, v) = 0. (1.8) Campos vectoriales hamiltonianos y las ecuaciones de Hamilton Dada la no-degeneración de ω, en una variedad simpléctica (M, ω) podemos definir, para todo x ∈ M, un isomorfismo entre TxM y T ∗ x M asignando a cada vector v ∈ TxM el covector αv ∈ T ∗ x M tal que αv = ω(v, .). 8
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