Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

de cuerpo rígido ΠRB. En tal caso, la correspondiente fase es
θM = −ΛRB + 2
L f(Π)
T
a
0
−2 (t) dt
= −ΛRB + 2
L f(Π)TRB
donde ΛRB es el ángulo sólido (orientado) subtendido por la solución periódica de cuerpo
rígido ΠRB que tiene energía asociada f(Π). Obsérvese que esta fase coincide con la fase
del cuerpo rígido ([19]) asociada a ΠRB. El movimiento de este tipo de cuerpos con tamaño
variable es similar al movimiento de un cuerpo rígido a menos de una reparametrización
temporal, la cual es inducida por la expansión/contracción.
Ejemplo 2.4.4. (Expansión/contracción de un cuerpo axialmente simétrico) Consideremos
el caso de un cuerpo axialmente simétrico que se expande en la dirección de su eje de simetría,
i.e., el caso en el cual la deformación puede ser descripta por una curva d0(t) en Q tal que
I(d0(t)) = diag(I1(t), I2, I3),
con I2 = I3. Tal como en el caso anterior, la ec. (2.9) puede ser exáctamente resuelta:
t
Π(t) = ΠRB(
0
(I −1
1 (s) − I−1 3 )
I −1
1
(0) − I−1
con ΠRB la solución de cuerpo rígido a las ecuaciones de Euler ˙ Π = Π × I −1 (d0(t1 = 0))Π
con valor inicial Π(t1 = 0). La función f(Π) = 1
2 Π · I−1 (0)Π resulta, nuevamente, constante
a lo largo de la solución Π(t), la cual define una curva cerrada simple para t ∈ [0, T ] cuando
T
0
(I −1
1 (s)−I−1 3 )
I −1
1 (0)−I−1 2
2
ds),
ds coincide con el período TRB asociado a una solución periódica de cuerpo
rígido ΠRB. En tal caso, la fase asociada es
θM = −ΛRB + 1
T
Π(t) · I
L 0
−1 (d0(t)) Π(t)dt,
siendo ΛRB el ángulo sólido (orientado) subtendido por la solución periódica de cuerpo
rígido ΠRB correspondiente a la energía f(Π). Nótese que, en general, esta fase difiere de
la fase de cuerpo rígido asociada a ΠRB.
Ejemplo 2.4.5. (Un satélite desplegando una antena a lo largo de su eje principal) Final-
mente, consideramos el caso en que
I(d0(t)) = diag(I1(t), I20 , I30 )
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