Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

Dada una función (el hamiltoniano) H : M −→ M, dH ∈ T ∗ M y entonces,
tenemos definido un campo vectorial hamiltoniano XH ∈ X (M) asociado a H:
ω(XH, .) = dH.
Por lo tanto, asociada a cualquier función H sobre M, tenemos las correspondientes ecua-
ciones de Hamilton: m(t) ∈ M satisface estas ecuaciones (de primer orden sobre M) si
es una curva integral del campo hamiltoniano XH asociado a H, es decir, si
˙m(t) = XH(m(t)) ∈ T m(t)M.
Por otra parte, recordemos que la función energía EL : T Q → R asociada al
lagrangiano L se define como
EL(q, v) := F L(q, v)(v) − L(q, v). (1.9)
Para sistemas simples, EL coincide con la energía mecánica del sistema K(q, v) + V (q). La
siguiente proposición establece la versión hamiltoniana de las ecuaciones de Euler-Lagrange
sobre la variedad simpléctica (M = T Q, ωL):
Proposición 1.2.3. Sea L un lagrangiano regular. La trayectoria c(t) en Q satisface las
ecuaciones de Euler-Lagrange si y sólo si m(t) = (c(t), ˙c(t)) satisface las ecuaciones de
hamilton en (M = T Q, ωL) correspondientes a la función energía EL, es decir, sii es una
curva integral del campo vectorial XL ∈ X (T Q) definido por
ωL(XL, .) = dEL. (1.10)
Para cualquier lagragiano regular, el campo vectorial XL que satisface (1.10) es de
la forma XL(q, v) = (v, Z(q, v)) y representa una ecuación de segundo orden para q(t) ∈ Q
(ver [1]).
1.3 G−simetrías
Dentro de las formulaciones geométrico-diferenciales de la mecánica, el concepto
de simetría viene ligado al de grupo de Lie y al de acción de estos grupos sobre una variedad
simpléctica.
Recordemos que un grupo de Lie G, de dimensión n, es una variedad diferenciable
de dimensión n munida de una estructura de grupo, tal que las operaciones de composición
e inversión son diferenciables.
9