Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

que determina, en dados instantes específicos, la orientación espacial exacta de este cuerpo
que se auto-deforma y que rota con momento angular no-nulo. Esta expresión generaliza la
mencionada fórmula de R. Montgomery [19].
En lo que sigue, tendremos siempre en mente el ejemplo en el que alguien reacomoda
los muebles dentro de una nave espacial 1 o, equivalentemente, el de un satélite en órbita
que despliega una de sus antenas.
Obsérvese que, en los ejemplos mencionados, el cuerpo bajo estudio es afectado
por fuerzas externas (v.g. la de gravedad). Sin embargo, nótese también que, para cuerpos
pequeños como lo son los satélites puestos en órbita, el momento angular con respecto al
centro de masa se mantiene aproximadamente constante. Dentro de esta aproximación, el
movimiento total del cuerpo puede ser descripto por dos sistemas desacoplados de ecua-
ciones: el que corresponde al movimiento del centro de masa (un típico problema de fuerzas
centrales) y el que detallaremos a continuación, correspondiente a la rotación del cuerpo
alrededor de su centro de masa (un problema de cuerpos auto-deformantes).
Como veremos en las secciones siguientes, el movimiento de rotación de un cuerpo
auto-deformante consta de dos contribuciones: la que es inducida por la deformación (de
naturaleza geométrica [24]) y la que deviene de poseer un momento angular distinto de cero
(de naturaleza dinámica, como lo es para un cuerpo rígido).
En la sección 2.2.2, definiremos qué clase de cuerpos deformables estudiaremos.
Ésta es la que llamaremos de cuerpos auto-deformantes. Dichos cuerpos son definidos por
medio de un vínculo puramente cinemático y mediante una hipótesis dinámica. En la sección
2.2.3, derivaremos las ecuaciones (de segundo orden, no autónomas) de movimiento para la
rotación desconocida alrededor del centro de masa.
19
Éstas corresponden a la conservación
del momento angular medido desde un sistema de referencia con origen en el centro de masa
y con ejes paralelos, a todo tiempo, a los de un sistema inercial. Nos referiremos a éste
como al momento angular espacial.
También en 2.2.3, observaremos que, como en el problema del cuerpo rígido, la
rotación buscada puede ser reconstruida a partir de la curva solución a las ecuaciones
(de primer orden, no autónomas) para el momento angular referido al cuerpo.
Éste último
representa al momento angular espacial visto desde un sistema de referencia que está rotando
junto con el cuerpo (ver [24]). En este punto, podemos volver a enunciar nuestro resultado
1 Este ejemplo fue sugerido como modelo de sistemas a estudiar por el profesor T. Ratiu durante el 2o.
encuentro de geometría diferencial, realizado en La Falda en el 2005.